2013高考数学复习课件 2.5 幂函数 二次函数 理 新人教版

1．形如_____________________的函数称为幂函数．2．几个幂函数的性质：y＝xα(α∈R，α为常数)y＝xy＝x2定义域RR值域R{y|y≥0}奇偶性奇函数偶函数单调性增函数在(－∞，0)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数y＝x3y＝x12y＝x－1定义域R{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增函数增函数在(－∞，0)上是减函数在(0，＋∞)上是减函数公共点(1,1)3.二次函数(1)二次函数的解析式的三种形式：①一般式：____________________；②顶点式：_______________________________________________；③两根式：___________________，其中x1、x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根．f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)f(x)＝a(x－h)2＋k，其中(h，k)是抛物线的顶点坐标f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是___________，对称轴为x＝，顶点坐标是．一条抛物线－b2a(－b2a，4ac－b24a)(3)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝b2－4ac0时，图象与x轴有__个交点；当Δ＝b2－4ac＝0时，图象与x轴有__个交点；当Δ＝b2－4ac0时，图象与x轴____交点．两一没有1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则x1＋x22等于()A．－baB．－b2aC．cD.4ac－b24a解析：x1＋x22＝－b2a.答案BA．－1,3B．－1,1C．1,3D．－1,1,3解析：结合图象可知．答案：C2．设a∈{－1,1，12，2,3}，则使函数y＝xa的值域为R且为奇函数的所有α的值为()3．若函数f(x)是幂函数，且满足f4f2＝12，则f(13)的值为()A．－3B．－13C．3D.13解析：设f(x)＝xα(α∈R且α是常数)，由f4f2＝12，得4α2α＝12，所以α＝－1.所以f(x)＝x－1，故f(13)＝3.答案C4．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由Δ＝m2－40，得m－2或m2.答案：C1．熟记α＝1,2,3，12，－1时幂函数的图象，是解决有关幂函数问题的基础．2．熟练掌握二次函数的图象、性质以及二次函数解析式的不同形式与求法．3．熟练掌握二次函数在给定区间上的值域(最值)的求法．考点一幂函数的概念【案例1】已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：(1)是幂函数；(2)是正比例函数；(3)是反比例函数；(4)是二次函数．关键提示：利用有关函数的概念．(即时巩固详解为教师用书独有)解：(1)若f(x)是幂函数，则m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.(2)若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，解得m＝－45，此时m2－m－1≠0，故m＝－45.(3)若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，则m＝－25，此时m2－m－1≠0，故m＝－25.(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.【即时巩固1】已知f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．解得m＝1.所以当m＝1时，f(x)为正比例函数．解：(1)若f(x)为正比例函数，则m2＋m－1＝1，m2＋2m≠0，(2)若f(x)为反比例函数，则m2＋m－1＝－1，m2＋2m≠0，解得m＝－1.所以当m＝－1时，f(x)为反比例函数．(3)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1.所以m＝－1±2时，f(x)为幂函数．考点二二次函数的图象与性质【案例2】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．关键提示：对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3.故当x＝2时，[f(x)]min＝－1；当x＝－4时，[f(x)]max＝35.(2)由－a≥6或－a≤－4，得a≤－6或a≥4.(3)当a＝1时，f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，故f(|x|)的单调递增区为[0,6]，单调递减区间为[－4,0]．【即时巩固2】已知函数f(x)＝－x2＋2ax(a0)，求f(x)在[0,1]上的最大值．解：f(x)＝－(x－a)2＋a2，(1)当a≥1时，ymax＝f(1)＝－1＋2a；(2)当0a1时，ymax＝f(a)＝a2.综上：ymax＝a2，0a1；－1＋2a，a≥1.考点三幂函数与二次函数的综合问题【案例3】已知函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈Z)满足f(2)f(3)．(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？若存在，求出q；若不存在，说明理由．关键提示：由f(2)f(3)知函数的单调性，从而可确定k的范围以及取值，从而求出f(x)的解析式；对于(2)可结合(1)的结果以及函数的性质求解．故－k2＋k＋20，解得－1k2.又因为k∈Z，所以k＝0或k＝1.当k＝0或k＝1时，－k2＋k＋2＝2，所以f(x)＝x2.(2)假设存在q满足题设，由(1)知g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．解：(1)因为f(2)f(3)，所以(23)－k2＋k＋21，因为g(2)＝－1，所以两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点(2q－12q，4q2＋14q)处取得．g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.②解①②组成的方程组得q＝2.经检验知当q0时无解．所以存在q＝2满足题意．而当q0时，4q2＋14q－g(－1)＝4q2＋14q－(2－3q)＝4q－124q≥0，所以g(x)max＝4q2＋14q＝178，①【即时巩固3】设f(x)＝3ax2＋2bx＋c，使a＋b＋c＝0，f(0)0，f(1)0，求证：(1)a0且－2ba－1；(2)方程f(x)＝0在(0,1)内有两个实根．证明：(1)因为f(0)0，f(1)0，所以c0,3a＋2b＋c0.由条件a＋b＋c＝0，消去b，得ac0，由条件a＋b＋c＝0，消去c，得a＋b0,2a＋b0.故－2ba－1.(2)抛物线f(x)＝3ax2＋2bx＋c的顶点坐标为(－b3a，3ac－b23a)，在－2ba－1的两边乘以－13，得13－b3a23.又因为f(0)0，f(1)0.而f(－b3a)＝3ac－－a－c23a－a2＋c2－ac3a0，所以方程f(x)＝0在区间(0，－b3a)与(－b3a，1)内分别有一实根．故方程f(x)＝0在(0,1)内有两个实根．