《线性代数》电子教案-第四章

《线性代数》电子教案索涛西北工业大学航空学院Tel：15909208902E-mail:[e-mail]2008.10第四章第四章向量组的线性相关性§4.1.1n维向量及其运算一.n维向量的概念n维向量本质表现形式几何背景n个数a1,a2,…,an构成的有序数组向量/点的坐标列矩阵行矩阵行向量列向量分量n维向量的定义一一对应第四章向量组的线性相关性§4.1.1n维向量及其运算注意：这里的“维”只是沿用一些几何术语，不一定有确定的几何形象（n＞3时）。二.n维向量空间的概念把n维向量的全体所组成的集合称为n维向量空间。三.向量组的概念若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组。第四章向量组的线性相关性§4.1.1n维向量及其运算用向量组表示矩阵用行向量组表示用列向量组表示第四章向量组的线性相关性§4.1.1n维向量及其运算用矩阵表示向量组已知m个n维行向量，可用矩阵表示成m×n的矩阵第四章向量组的线性相关性§4.1.1n维向量及其运算用矩阵表示向量组已知m个n维列向量，可用矩阵表示成n×m的矩阵显然，含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应第四章向量组的线性相关性§4.1.1n维向量及其运算与矩阵的线性运算相同——都是对应分量的线性运算四.n维向量的线性运算第四章向量组的线性相关性§4.1.1n维向量及其运算五.n维向量的线性运算性质与矩阵的线性运算性质相同第四章向量组的线性相关性§4.1.1n维向量及其运算n维向量:1,2,…,s六.线性组合和线性表示常数:k1,k2,…,ks线性组合:k11+k22+…+kss=k11+k22+…+kss对n维向量，若存在常数:k1,k2,…,ks使得则称能由向量组1,2,…,s线性表示.或称能由向量组1,2,…,s生成.注意：这里没有强调常数全不为零§4.1.1n维向量及其运算例1.n维基本单位向量组1=100…,2=010…,n=001….…,第四章向量组的线性相关性§4.1.1n维向量及其运算任何一个n维向量=a1a2an…都能由1,2,…,n线性表示.=a1100…+a2010…+…+an001….事实上,第四章向量组的线性相关性§4.1.1n维向量及其运算A=(1,2,…,s)=b1b2bn…,已知能由1,2,…,s线性表示第四章向量组的线性相关性a11a12…a1sa21a22…a2s…………an1an2…ans=线性组合与线性方程组的关系§4.1.1n维向量及其运算第四章向量组的线性相关性根据线性表示的定义，必然有常数:x1,x2,…,xs使得=x11+x22+…+xss注意：按照定义，向量相等的实质上就是各对应分量相等，则上式等价于线性方程组nsnsnnssssbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111§4.1.1n维向量及其运算第四章向量组的线性相关性nsnsnnssssbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111写成矩阵形式为Ax=bx=x1x2xs…其中A=(1,2,…,s)a11a12…a1sa21a22…a2s…………an1an2…ans=§4.1.1n维向量及其运算能由1,2,…,s线性表示方程组Ax=有解.第四章向量组的线性相关性根据线性组合的定义，常数x1,x2,…,xs必然存在，因此线性方程组Ax=b必然有解。故：由此，我们有理由推测向量的线性表示问题与线性方程组解的问题有更深入的联系。§4.1.2向量组之间的关系§4.1.2向量组之间的关系第四章向量组的线性相关性能由线性表示,例如:2030,1001,但2030不能由线性表示.,1001,定义：设有两个同维向量组A:a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl,如果B中每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。注意：向量组B能由向量组A线性表示方程AX=B有非零解.1.向量组的线性表示mnmmnnccccccccc212222111211msmmssaaaaaaaaa212222111211snssnnbbbbbbbbb212222111211矩阵的乘积Cmn=AmsBsn,=行向量i=ai11+ai22+…+aiss,i=1,2,…,m.列向量j=b1j1+b2j2+…+bsjs,j=1,2,…,n,向量组的线性表示:§4.1.2向量组之间的关系第四章向量组的线性相关性2.向量组的线性表示与矩阵乘积msssmmaaaaaaaaaA212221212111,,,:mnmmnnccccccccc212222111211msmmssaaaaaaaaa212222111211snssnnbbbbbbbbb212222111211mnnnmmcccccccccC212221212111,,,:简记为A:1,2,…,s,C:1,2,…,n.若j=b1j1+b2j2+…+bsjs,j=1,2,…,n,即=12n12s§4.1.2向量组之间的关系第四章向量组的线性相关性列向量组C能由A线性表示][][][212222111211snssnnbbbbbbbbb][][][212222111211mnmmnnccccccccc简记为B:1,2,…,s,C:1,2,…,m.若i=ai11+ai22+…+aiss,i=1,2,…,m,即B:C:mnmmnnccccccccc212222111211msmmssaaaaaaaaa212222111211snssnnbbbbbbbbb212222111211=12s§4.1.2向量组之间的关系第四章向量组的线性相关性12m行向量组C能由B线性表示§4.1.2向量组之间的关系第四章向量组的线性相关性思考由于向量组可以用矩阵表示，而向量组B由A线性表示的实质是B中的每一个向量都可以用A中的向量通过线性运算得到，因此向量组线性表示的问题就转化为向量组A对应的矩阵经过变换化为向量组B所对应的矩阵的问题。注意：这里的变换和初等变换有所不同，因为向量组线性表示是允许系数全部为零的，而初等变化则是不能乘以为零的系数。但仍然可以理解为：行(列)向量组B能由A线性表示可记为B对应的行(列)向量矩阵是由A对应的行(列)向量矩阵左(右)乘变换矩阵得到的。§4.1.2向量组之间的关系第四章向量组的线性相关性3.传递性A=(1,2),B=(1,2,3),C=(1,2),1=1+2,2=1+22,3=1+2,1=21+22=12+3=2(1+2)+(1+22)=31+42,=(1+2)(1+22)+(1+2)=1,§4.1.2向量组之间的关系第四章向量组的线性相关性B能由A线性表示A=(1,2),B=(1,2,3),C=(1,2),B=(1,2,3)=(1,2)=AD,111121=A(DF).C=(1,2)=(1,2,3)211101=BF,=(1,2)211101111121=(1,2)3140C能由B线性表示一般地,C能由A线性表示.若向量组B能由向量组A线性表示;同时向量组A能由向量组B线性表示,则称这两个向量组等价.§4.1.2向量组之间的关系第四章向量组的线性相关性4.向量组等价显然,(1)向量组A与其自身等价(反身性);(2)若A与B等价,则B与A等价(对称性);(3)若A与B等价且B与C等价,则C与A等价(传递性).A:1,2,…,r；B:1,2,…,s给定两个向量组例.设有两个向量组I:1=[1,1],2=[1,1],3=[2,1],II:1=[1,0],2=[1,2].即I可以由II线性表示.则1=1+2,21212=12,23213=1+2,2321即II可以由I线性表示.1=1+2+03,21212=12+03,2321故向量组I与II等价.§4.1.2向量组之间的关系第四章向量组的线性相关性5.矩阵等价与向量组等价的关系mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211mnmmnnbbbbbbbbbB212222111211初等行变换矩阵A与B的行向量组等价B的行向量组能由A的行向量组线性表示A的行向量组能由B的行向量组线性表示初等行变换§4.1.2向量组之间的关系第四章向量组的线性相关性mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211mnmmnnbbbbbbbbbB212222111211矩阵A与B的列向量组等价B的列向量组能由A的列向量组线性表示A的列向量组能由B的列向量组线性表示初等列变换初等列变换§4.1.2向量组之间的关系第四章向量组的线性相关性注意：从严格意义上讲仅当两者相互线性表示时，其中无全为零的系数组的情况下才严格的等价注:0101A0001B初等行变换(1)无法通过初等列变换实现矩阵A与B的行向量组等价,但列向量组不等价.0011C0001B初等列变换(1)无法通过初等行变换实现矩阵C与B的列向量组等价,但行向量组不等价.§4.1.2向量组之间的关系第四章向量组的线性相关性§4.1.1n维向量及其运算第四章向量组的线性相关性矩阵A和B行（或列）等价矩阵A和B的行（或列）向量组等价矩阵A和B行（或列）等价矩阵A经初等行（或列）变换变成B矩阵B(或A)的每个行（或列）向量都是A(或B)的行（或列）向量的线性组合矩阵A和B的行（或列）向量组等价第四章向量组的线性相关性两个关于方程组有解的定理线性方程组AX=b有解R(A)=R(A,b)矩阵方程AX=B有解R(A)=R(A,B)线性方程组AX=b有解R(A)=R(A,b)向量b能由向量组A线性表示R(A)=R(A,b)矩阵方程AX=B有解R(A)=R(A,B)向量组B能由向量组A线性表示R(A)=R(A,B)定理2§4.1.2向量组之间的关系第四章向量组的线性相关性定理3：如果向量组B:b1,b2,…,bl能由向量组A:a1,a2,…,am线性表示，则：R(b1,b2,…,bl)≤R(a1,a2,…,am)由定理2和3可知定理：向量组A:a1,a2,…,am和B：b1,b2,…,bl,等价的充要条件是：R(A)=R(B)=R(A,B)其中矩阵A和B分别是向量组A和B构成的矩阵。§4.1.2向量组之间的关系第三章矩阵的初等变换与线性方程组本节作业课本P108：2，4，5交作业时间：10月24日§4.1.2向量组之间的关系§4.2向量组的线性相关性§4.2向量组的线性相关性一.基本概念第四章向量组的线性相关性定理：向量组线性相关向量组中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示。第四章向量组的线性相关性证明§4.2向量组的