定积分的背景--面积和路程问题(北师大版选修-)

第四章定积分4.1.1定积分的背景——面积和路程问题我们学过正方形、长方形、三角形和梯形等平面“直边图形”的面积；物理中，我们知道匀速直线运动的时间、速度与路程的关系等等。在数学和物理中，我们还经常会遇到计算平面曲线所围成的平面“曲边图形”的面积、变速直线运到物体位移、变力做功的问题。如何解决这些问题呢？现有知识无法解决，为此我们需要另寻方法。接下来我们要学习的定积分，就可以帮助我们解决这些问题。引入xoy图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，这样的平面图形称为曲边梯形，如何求这个面积呢？)(xfyab曲边梯形定义：我们把由直线x=a，x=b(a≠b)，y=0和曲线y=f(x)所围成的图形叫作曲边梯形。（1）曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平面图形；（2）曲边梯形与“直边图形”主要区别在于前者有一边是曲线段而“直边图形”的所有边都是直线段。对曲边梯形概念的理解：我们曾经用正多边形逼近圆的方法(即“以直带曲”的思想)求出了圆的面积，能否也能用直边形(如矩形)来逼近曲边梯形的方法求阴影部分面积呢？将区间[0，1]平均分成许多小区间，把曲边梯形拆分成一些小曲边梯形。对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形的面积，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值。可以想象，区间拆分的越细，近似程度就越好，亦即：用化归为计算矩形面积和逼近思想来求曲边梯形的面积。可通过以下几个步骤具体实施：（1）分割；（2）近似代替(过剩和不足估计值)；（3）逼近。问题1图中阴影部分由抛物线，直线及x轴围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的面积S。2xy1xxoy12xyxoy1(1)将区间[0，1]平均分成5份，如图所示。1S图(1)中，所有小矩形面积之和显然大于所求曲边梯形的面积，我们称为S的过剩估计值，则有1S1S44.02.0)18.06.04.02.0(222221Sxoy1(2)图(2)中，所有小矩形面积之和显然小于所求曲边梯形的面积，我们称为S的不足估计值，则有1s1s1s24.02.0)8.06.04.02.00(222221sxoy1(3)我们可以用或近似表示S，但是都存在误差，二者之差为，但是无论是用还是来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过0.2，如图(3)所示。1S1s2.011sS1S1sxoy1(4)为减小误差，我们将区间[0，1]10等分，则所求面积的过剩估计值为385.01.0)12.01.0(2222S285.01.0)9.02.01.00(22222s不足估计值为二者的差值为，此时，无论用还是来表示S，误差都不超过0.1。1.022sS2S2s区间分的越细，误差越小。当所分隔的区间长度趋于0，过剩估计值和不足估计值都趋于曲边梯形面积。问题2司机猛踩刹车，汽车滑行5s后停下，此过程中汽车的速度v是时间t的函数：请估计汽车在刹车过程中滑行的距离s。)50(2510)(2ttttv分析：)(551)4()3()2()1()0(1mvvvvvs)(301)5()4()3()2()1(1mvvvvvs)(2511mss此时误差不超过：将滑行的5s平分成5份。用，，，近似代替汽车在0~1、1~2、2~3、3~4、4~5s内的平均速度，则滑行距离的过剩估计值为：1s)0(v)1(v)2(v)3(v)4(v用，，，，近似代替汽车在0~1、1~2、2~3、3~4、4~5s内的平均速度，则滑行距离的不足估计值为：1s)1(v)2(v)3(v)4(v)5(v滑行时间等分的越细，误差越小。当所分隔的小时间段长度趋于0，则过剩估计值和不足估计值都趋于汽车滑行路程。若将5秒平分成10份，则得到过剩估计值为：2s)(625.355.0)5()2()5.1()1()5.0(2mvvvvvs)(5.12625.35125.4822mss)(125.485.0)]5.4()4()1()5.0()0([2mvvvvvs不足估计值为：2s此时，误差都不超过概括前面，我们通过“以直代曲”的逼近方法解决了求曲边梯形的面积的问题，它们的步骤：分割区间过剩估计值不足估计值逼近所求面积所分区间长度→0估计值→所求值动手做一做求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。O2xyyx22i-1n2in83＊曲边梯形的定义：分割区间过剩估计值不足估计值逼近所求面积＊求曲边梯形面积的步骤：我们把由直线x=a，x=b(a≠b)，y=0和曲线y=f(x)所围成的图形叫作曲边梯形。小结