学而思初一数学暑假班第11讲.线和角.教师版

1第11讲·尖端预备班·教师版定义示例剖析直线：能够向两端无限延伸的线.①用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序，如图⑴直线AB，也可以写作直线BA．②用一个小写字母来表示，如直线l，如图⑵．(1)(2)lAB射线：直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点.①用两个大写字母来表示．第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点．如射线OA，如图⑶，但不能写作射线AO．②用一个小写字母来表示，如射线l，如图⑷．(3)(4)lAO线段：直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点．①用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，无先后顺序之分，如线段AB，如图⑸，也可以写作线段BA．②也可以用一个小写字母来表示：如线段l，如图⑹．(5)(6)lAB公理：①经过两点有且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线”．②两点之间的连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”．中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．如图⑺．点O是线段AB的中点模块一线111111线线和和角角2第11讲·尖端预备班·教师版(7)OBA记为：12AOBOAB注意：①点的表示方法：通常用一个大写的英文字母来表示点：A，B，C，D，……；②在线段的表示前面必须加上“线段”二字；③点与直线的关系：点在直线上；点在直线外；④两点间的距离：连接两点的线段的长度叫做两点间的距离．直线、射线、线段的主要区别：类型端点延长线及反向延长线用两个大写字母表示直线0个无无顺序射线1个有反向延长线第一个表示端点线段2个两者都有无顺序【例1】⑴下面说法中错误的是（）A．直线AB和直线BA是同一条直线B．射线AB和射线BA是同一条射线C．线段AB和线段BA是同一条线段D．把线段AB向两端无限延伸便得到直线AB⑵下列叙述正确的是（）A．孙悟空在天上画一条十万八千里的直线B．笔直的公路是一条直线C．点A一定在直线AB上D．过点A、B可以画两条不同的直线，分别为直线AB和直线BA⑶根据直线、射线、线段各自的性质，如下图，能够相交的是（）D.C.DCBADCBAB.DCBAA.DCBA【解析】⑴B；⑵C；⑶B夯实基础3第11讲·尖端预备班·教师版【例2】⑴下列说法中，正确的是（）A．两点之间的连线中，直线最短B．若点P是线段AB的中点，则APBPC．若APBP，则点P是线段AB的中点D．两点之间的线段叫做这两点的距离⑵把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是（）A．两点之间，射线最短B．两点确定一条直线C．两点之间，线段最短D．两点之间，直线最短（海淀区期末）⑶手枪上瞄准系统设计的数学道理是．⑷如图所示，填写空格：ABANBN，ABPMN_________MPNPMB，_________NPNBMP．⑸补全下面解题过程.已知：如图，B、E是线段AC上两点，E是BC的中点，15BEAC，2cmBE，求线段AB的长.．∵15BEAC，2cmBE，（已知）∴510cmACBE.∵E是BC的中点，（已知）∴BCBE，（线段中点的定义）cm.∴ABACcm.⑹延长线段AB到C，使32BCAB，反向延长线段AB到D，使DAAB，若10cmAB，求DC．【解析】⑴B；⑵C；⑶两点确定一条直线；⑷MPNPMNMBBP，NPNBBPMPMN．⑸2，4，BC，6⑹此题培养学生根据题意画图解题的能力，易得35cmDC．【例3】如图，A，B，C，D为4个居民小区，现要在四边形ABCD内建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小，说明理由．能力提升ECBA4第11讲·尖端预备班·教师版EDCBAABCDP'ABCDP【解析】该建在AC，BD的交点P上，如图所示．首先我们使购物中心到A和C的距离之和最小，那么购物中心就应该建在线段AC的某点处．这是因为如果点P不在AC上，根据两点之间，线段最短，可以知道PAPCAC．同时我们也能看出，购物中心建在线段AC上的任意一点，都可以保证购物中心到A，C距离之和最小．同理，购物中心若到B，D之和距离最小，也必须建在线段BD上，这样购物中心就必须建在AC，BD的交点P上．【例4】在右图中，按要求画图并填空：如图，已知三角形ABC及点D，⑴做直线AD；⑵延长AB到E，使得BEAB，连接CE；⑶做射线DE.（朝阳区期末）【解析】⑴⑵⑶如图.【例5】⑴如图，已知BC，是线段AD上的两点，M是AB的中点，N是CD的中点，若MNa，BCb，求线段AD的长.NMDCBA⑵如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，求:MNPQ的值.CBNMPQA【解析】⑴AMNDMBNCMNBCab，2ADAMMNNDab；⑵设ABx，ACy，则22yxMNANAM，44yxPQAPAQ，故:2MNPQ【附加】如图，已知线段AB上依次有三个点C,D,E把线段AB分成2:3:4:5四个部分，M,P,Q,N分别是AC,CD,DE,EB的中点，若21MN，求PQ的长度.DCBA5第11讲·尖端预备班·教师版NEQDPMCBA【解析】根据题意可设234510.52123.57ACxCDxDExEBxMNxxPQx，，，，，，【例6】⑴判断：已知A，B，C三点在同一条直线上，12ACAB，那么C是AB的中点．⑵点A、B、C是同一直线上的三个点，若8cmAB，3cmBC，则AC的长度为.⑶已知A、B、C三点在同一条直线上，若2BCAB，点D平分线段AC，21cmBD，求BC的长.【解析】⑴错误，几何中的题目如果无图，要特别注意读准题意，适时分类求解．如下图⑴，⑵，均满足题意．(1)(2)AABBCC⑵11cm或5cm.⑶情况1：如图⑴，23217428CDxDAxABxBDxxBCx，，，，，；情况2：如图⑵，设20.52142284AByBCyBDyyBCy，，，，（1）DCBA(2)DCBA【附加】已知：A，B，C，D四点共线，若3cmAB，2cmBC，4cmCD，画出图形，求AD长.【解析】根据A，B，C，D四点共线，3cmAB，2cmBC，(先取前两个重要条件画图分析)可得下面两种情况(画图)：BCACBA情况1情况2再参看条件4cmCD，对于第一种情况可以得到下面两种可能：CBDADCBA⑴⑵对于第二种情况可以得到下面两种可能：DBCADCBA⑶⑷所以共有四种可能：如图⑴3249AD；如图⑵3241AD；如图⑶4(32)3AD；如图⑷(32)45AD.模块二角6第11讲·尖端预备班·教师版角的定义定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边．注意点：角的两条边是射线，是无限延伸的．角的表示方法①用三个大写字母来表示，顶点一定要写在中间，如图⑴．可记为BOA，但不能写成BAO或ABO．②用一个大写字母来表示，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．如图⑵．③用数字来表示角，如图⑶．④用希腊字母来表示角，如图⑷．4()3()2()1()α1AAOBα1AAOB角的相关计算1度60分（160）1分60秒（160）1周角3601平角1801直角901周角2平角1平角2直角余角与补角互为补角定义：如果两个角的和是180，那么这两个角互为补角．简称互补.如图⑸：直线AB，12180°，所以1与2互补(8)21OBCA⑸反之，因为1与2互补，所以12180°．互为余角定义：如果两个锐角的和是90，那么这两个角互为余角.简称互余．如图⑹：1290°，所以1与2互余．反之，因为1与2互余，所以1290°．⑹O21CBA7第11讲·尖端预备班·教师版角平分线：从一个角的顶点出发的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫这个角的平分线．如图⑺：射线OC是AOB的角平分线．则1122AOB.C21BOA(10)⑺【例7】⑴把20.3换算成度、分、秒的结果______；⑵32.43_________；⑶654312_____；⑷51492421________；⑸39412445__________；⑹2313423_________；⑺12134________．【解析】⑴首先在第一个空上填上20，然后计算(20.320)0.3，0.30.36018，20.32018⑵32.43322548⑶这是如何把度分秒形式的度数转化成小数的形式，12600.2，430.243.2，43.2600.72，65431265.72．⑷5149242175707610；⑸394124453810124451456.⑹231342369416；⑺121343315.【巩固】计算：4537291123263.（海淀区期末）【解析】4537291123263112711.【例8】⑴在左下图中，角的表示方法正确的是（）A．AB．BC．CD．DABCDEO321ODCBA⑵如右上图，将一副三角板的直角顶点重合，可得12，理由是等角（或同角）的；若3=50，则COB=º.⑶如图，O是直线AB上的一点，120AOD，90AOC，OE平分BOD，则图中彼此互补的角共有__________对；夯实基础8第11讲·尖端预备班·教师版ABCDEOFEDCBAO第⑶题第⑷题⑷如图，OEAB于O，OFOD，OB平分DOC，则图中与AOF互余的角有_________个；互补的角有_________对．【解析】⑴B；⑵余角相等，130；⑶根据题意可得：30BOEEODDOC，60BODEOC，互补的角只满足和为180这个数量关系即可，与位置无关．所以共有6对：AOE与BOE，AOE与EOD，AOE与DOC，AOD与BOD，AOD与EOC，AOC与BOC．⑷由题意可知90AOFFOE，所以与AOF互余的角必与FOE相等。由题中条件可知FOE=BODBOC，所以余角有3个；AOF的补角为,EOB所以与AOF互补的角必与EOB相等。【例9】⑴一个角的补角比它的余角的4倍少15°，则这个角的度数为°．⑵如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大60，求这个角的余角度数．【解析】⑴55；⑵设这个角为x，则它的补角和余角分别为180x和90x，(180)(90)[(180)(90)]60xxxx，所以60x，所以这个角的余角的度数为30【附加】已知的余角是的补角的13，并且32，试求的度数．【解析】根据题意可得：190(180)3，1303，且32，6090150，，．【例10】如图，点B为射线OA上一点.①在OA的上方，画120AOC°，画90OBD°；②画出AOC的平分线OE，交射线BD于点P．测量点O、P之间的距离（精确到1cm）．BAO（西城区期末）【解析】画120AOC°，90OBD°；能力