气体动力学基础chapter8

第八章理想流体多维流动基础8.1有旋流动8.8凯尔文定理（汤姆逊定理）8.7理想流体的初始条件与边界条件8.6微分形式的能量方程8.5其它形式的运动微分方程8.4欧拉运动微分方程及其积分8.3微分形式的连续方程8.2无旋流动、势流和速度势8.1有旋流动有旋流动又称旋涡流动,其主要特征是流场中流体微团的旋转角速度不为零，因此判断一个流场中流体运动是否有旋的判据就是看它的旋转角速度是否等于零。8.1.1涡量、涡线、涡面和涡管有旋流动的流场中处处存在旋转角速度将带旋涡运动角速度的流体运动矢量场作为研究对象。流体旋转角速度是速度场旋度的二分之一，即而速度场的旋度又称为涡量，常用表示：V0.5V2V涡线是流场中某一时刻的一条空间曲线，在该时刻这条曲线上每一点的流动角速度矢量都与该点曲线的切线方向一致，如图8.1所示。8-1图8.1涡线示意图图8.2涡管示意图有涡线的定义可得涡线方程：zyxdzdydx矢量形式0rd8-28-3涡面就是某一时刻通过一条非涡线的空间曲线的所有涡线构成的曲面。而管状涡面的内域就是涡管：即如果在旋涡场中取一非涡线的封闭曲线，过该曲线每一点的所有涡线组成的管状曲面称为涡管，如图8.2所示。涡面对于涡量具有不穿透性，涡管对于涡量具有封闭性，在涡面上有：0nC即涡量在涡面的法向投影等于零。8.1.2速度环量流场中流体运动速度沿某一给定封闭曲线的线积分称为绕该曲线的速度环量，通常用表示。其大小实际上代表了旋涡流动的强度，因此，可以用速度环量来作为旋涡流动定量分析的特征量。在流场中取一条任意的空间封闭曲线C，如图8.3所示，沿该曲线流体运动速度连续变化，根据环量定义，速度环量可记为dlVdlVCCCcos图8.3绕任意封闭曲线的速度环量由于kVjViVVzyxkdzjdyidxld)(dzVdyVdxVCzyxcdxdyyVxVdzdxxVzVdydzzVyVdzVdyVdxVxyzxyzCzyxc)(因此环量这是速度环量的一般表达式，一般取逆时针方向为速度环量积分的正方向。8.1.3速度环量与旋涡强度的关系(8.4)流场中速度环量是沿某一给定封闭曲线的线积分，若速度环量不为零，则说明该封闭曲线所在曲面内的流动是有旋的。利用联系线积分与面积分的斯托克斯公式，可以把式（8.4）写成：AAACzyxcdAnAdAdVdzVdyVdxV＝)(可以看出，式中右边小括号内的三项分别是旋度的三个分量，因此：式中C是空间曲面A的边界。上式右边是面积A上的旋涡强度，或称为通过面积A的涡通量。即沿空间任意封闭曲线的速度环量，等于通过以该曲线为边界的任意空间连续曲面的涡通量。(8.5)8.2无旋流动、势流和速度势速度旋度处处为零的流动定义为无旋流动，其所在流场称为无旋流场。即存在该条件又可写为：0VzVyVyzxVzVzxyVxVxy(8-6)图8.4a无旋运动图8.4b有旋运动下面通过示意图的方法进一步解释无旋运动和有旋运动的区别在无旋流中，公式(8.6)表明速度的交叉偏导数相等，因此，在流场中必然存在着这样一个函数，它对于某一坐标的偏导数等于速度在该坐标方向的分速度，即，式中函数称为势函数或速度势,因此),,,(tzyxVgrad)(2yzVVyyzyzzyzxyzVxVyVz(8-7)无旋条件与势函数的相互依存关系为2xzVVzzxzxxzx2yxVVxxyxyyxy若流动是定常的，那么势函数只是空间坐标的函数，因此势函数的全微分可以表示为：xyzddxdydzVdxVdyVdzxyz＋＋(8.9)如果能够找出描写该流动特征的势函数，那么就可以利用势函数的性质(8.7)求出这一流动的各点速度，再利用伯努利方程求出全场的压力分布。8.3微分形式的连续方程如图8.5为微元控制体（dx,dy,dz）。在微元控制体内近似有（图8.5）分析微元控制体的质量流量cvdvdxdydzttdxdydztdvtcv根据控制体形式的连续方程得：()()0iiioutiiiiniidxdydzVAVAt(8.11)如果某一物理量在微元控制体左侧面上的值为，则由泰勒公式可知该量在右侧面上的值为。因此，如已知左边面上单位面积的质量流量为，则右边面上的单位面积的质量流量为。所以在x方向的质量流量应为：dxx)/(dxxVVxx)/(dxdydzxVdydzVdydzdxxVVxxxx)/(])/([同理可以得出在y、z方向的质量流量分别为dxdydzyVy)/(dxdydzzVz)/(代入式(8.11)得0yxzVVVdxdydzdxdydzdxdydzdxdydztxyz两边同除以dxdydz后得出0yxzVVVtxyz(8.12)上式即为直角坐标系下微分形式的连续方程已知哈密顿算子ijkxyz因此，连续方程可以写成矢量形式为()0Vt将方程(8.12)展开，有()0yxzxyzVVVVVVtxyzxyz()0yxzVVVDDtxyz0DVDt(8.14)对于定常流动，，由式(8.13)可得连续方程应为0t()0v对于不可压流动，D/Dt=0，由式(8.14)可得连续方程为:V=00V(8.15)(8.16)对于圆柱坐标系，可取一扇型微元控制体，经过与上述类似的推导，可得出圆柱坐标系微分形式连续方程rdrddz()0rzVrVVtrrrz()0rzVrVVDDtrrrz连续方程实际上它是一个运动学方程。因此其不仅适用于无粘理想流体的流动而且也适用于粘性流体的运动。【例8.1】试判断下述流动是否不可压226()(2)(4)Vxyiyzjxyzk2sincosrVr22cosVr（a）（b）解624120yxzVVVxyz（a）()2sincos2sincos4sincos00rzVrVVrrrz（b）该流场不可能是不可压流动说明该流场是不可压流动【例8.2】若速度场和密度场分别为223()xzVizjykty4ty该流动是否满足连续方程解()yxzxyzVVVVVVtxyzxyz2222134344()4124120zyzttytyyztyzt给定的速度场和密度场满足连续方程。8.4欧拉运动微分方程及其积分8.4.1微分形式动量方程-欧拉运动微分方程一、直角坐标系的欧拉运动微分方程假设流体是无粘的理想流体，流体属性是连续变化的。在直角坐标系描述的流场中取边长分别为dx、dy、dz的微元立方体，见图8.5。图8.5直角坐标微分形式欧拉运动方程的推导设微元体中心点的压强为P，则在微元体x正方向所在的微元面上，其压强为2pdxpx2pdxpxXdxdydzdxdydz在微元体负x方向所在的微元面上，其压强为该微元体在x轴方向上受到的质量力为，那么，根据牛顿第二运动定律，作用在该微元体x方向上的全部外力，即表面力和质量力，将等于微元体的质量与x方向的加速度之乘积/xdVdt22xdVpdxpdxpdydzpdydzXdxdydzdxdydzxxdt上式经简化得到：1xdVpXxdt这就是理想流体在x方向微分形式动量方程，类似地，在y方向和z方向同样可以建立起各自方向的运动微分方程：1ydVpYydt1zdVpZzdt上述方程组可以写成矢量形式：1dVRpdt如果将上述方程的右边在直角坐标系中展开，就得到如下的表达式：111xxxxxyzyyyyxyzzzzzxyzVVVVpXVVVxtxyzVVVVpYVVVytxyzVVVVpZVVVztxyz这就是直角坐标系中无粘理想流体的欧拉运动方程式，当然，上式也可以写成如下的形式：1()VpVVdt(8.20)二、圆柱坐标系下的欧拉运动微分方程在以规定的圆柱坐标系下，建立欧拉运动微分方程。与直角坐标系中推导过程类似，在流场中取微元体内的流体作为研究对象，列出全部表面力和质量力，建立三个方向的受力和运动的微分方程式，就得到如下的圆柱坐标系的欧拉运动微分方程，,,rzrdrddz2111rrrrrrzrrzzzzzzrzVVVVVpRVVVrtrrzrVVVVVVpRVVVrtrrzrVVVVpRVVVztrrz(8.21)三、球坐标系下的欧拉运动微分方程在球坐标下的流场中取微元体内的流体为研究对象，建立各个方向的微元流体受力和运动的微分方程，就得到球坐标系的欧拉运动微分方程：2rdddr2221sin1sin1sinsinrrrrrrrrrrrVVVVVVVVpRVrtrrrrrVVVVtgVVVVpRVVrtrrrrrVVVVVVVVVVtgpRVrtrrrrr(8.22)8.4.2欧拉运动微分方程的积分微分形式的欧拉运动方程描述了无粘理想流体受力和其运动的关系，它是一组偏微分方程，只有在某些特定条件的限制下，欧拉运动方程可以得到积分解。一、定常流沿流线的积分在定常流中，流线和迹线重合，即在流线上每一点的速度矢量与该点的切线矢量平行，可以用如下方程表示：xyzdxdydzVVV上式还可以改写为：xyyzzxVdyVdxVdzVdyVdxVdz(8.23)将欧拉运动微分方程(8.20)x、y、z三个方向的方程分别乘以dx，dy，dz并引入定常流的条件，就可以得到下列表达式111xxxxyzyyyxyzzzzxyzVVVpXdxdxVdxVdxVdxxxyzVVVpYdydyVdyVdyVdyyxyzVVVpZdzdzVdzVdzVdzzxyz将上式右边的相关项用流线方程的表达式改写，如第一个方程右边的用代替：同样用来代替。同理x方向和y方向的方程也照此办理，那么上式就可以改写为yVdxxVdyzVdxxVdz1xxxxxxVVVpXdxdxVdxVdyVdzxxyz11yyyyyyzzzzzzVVVpYdydyVdxVdyVdzyxyzVVVpZdzdzVdxVdyVdzzxyz将上述三个方程相加，并利用定常流和全微分的表达式，即xxxxyyyyzzzzUUUdUdxdydzXdxYdyZdzxy