Chapter-12热应力_2011_10802661

曹艳平曹艳平清华大学工程力学系清华大学工程力学系2011.12.21第十二章第十二章热应力热应力ThermalStressThermalStress热应力热应力什么是热应力?Chapter12热传导基本概念热弹性基本方程热应力问题简例及不产生热应力的条件平面热应力问题热传导基本概念Chapter12.1‹温度：标志热平衡水平的物理量。‹热传导：热量从高温物体传向低温物体。‹温度场：某一时刻，物体内所有各点的温度分布。99定常温度场‹等温面：温度场中温度相同的所有点构成的曲面。9沿着等温面的切线方向没有热量流动9通过等温面存在热量传递,热传导方向垂直于等温面123(,)(,,,)ixxxttxϑϑϑ==123()(,,)ixxxxϑϑϑ==热传导基本概念Chapter12.1‹热流密度：单位时间通过等温面单位面积的热量。9矢量，与等温面法线方向一致，指向温度增加的方向。9傅立叶热传导定律：9法向热流密度：单位时间通过任意曲面单位面积的热流。kϑ=−∇qddiiQqkqSνϑνν∂==−=∂热传导基本概念Chapter12.1ddddddiiVVSctVrtVqtStϑρρν∂=−∂∫∫∫‹热平衡关系9物体体积，表面积，表面外法线的方向余弦；9物体密度，体内热源强度,比热。¾在时间内，温升，用高斯公式将面积分化为体积分，并由微元的任意性，得VSiνρ(,)irrxt=cdtdttϑ∂∂,iicrqtϑρρ∂=−∂热传导基本概念Chapter12.1‹热传导方程¾由傅立叶导热定律，将热平衡方程改写为式中a为导热系数，即。‹二维问题‹一维问题‡体内无热源‡定常无热源akcρ=,iiratcϑϑ∂−=∂2222ratxycϑϑϑ⎛⎞∂∂∂−+=⎜⎟∂∂∂⎝⎠22ratxcϑϑ∂∂−=∂∂,iiatϑϑ∂=∂,0iiaϑ=热传导基本概念Chapter12.1‹定解条件¾为了完全确定温度场，除了热传导方程外，还必须指定适当的初始条件及边界条件。„初始条件，在定常问题中无需给出；‡边界条件，指定t0以后，弹性体边界与周围介质进行热交换的规律：9指定边界处温度9指定边界处法向热流密度9对流换热边界条件00(,)()iitxtxϑϑ==(,)(,)iSiSxtxtϑϑ=(,)SiSkqxtνϑν∂−=∂()SaSkϑβϑϑν∂−=−∂热传导基本概念Chapter12.1‹变温分布¾在热应力分析中，需要的是温度场相对于某一参考状态温度场的变化。¾假定，以T表示温度场相对于的变化，即，则变温分布T满足热传导方程，¾求解所需的初始条件及边界条件可按与之前类似的方式给出。ϑ0ϑ0constϑ=ϑ0ϑ0Tϑϑ=−,iiTraTtc∂−=∂Chapter12热传导基本概念热弹性基本方程热应力问题简例及不产生热应力的条件平面热应力问题‹几何方程：‹运动方程：或平衡方程：‹本构关系：或式中为线胀系数，且热弹性基本方程Chapter12.1,,()/2ijijijuuε=+,jijifuσρ+=,0jijifσ+=2ijijkkijijGTσελεδβδ=++1223ijijkkijijTGGλεσσδαδλ⎛⎞=−+⎜⎟+⎝⎠α12Eαβν=−−‹本构关系的直角坐标系表达：热弹性基本方程Chapter12.1()()()1;;1;;1;.xyxxyzxyyzyyxzyzzxzzxyzxTEGTEGTEGτεσνσσαγτεσνσσαγτεσνσσαγ⎡⎤=−++=⎣⎦⎡⎤=−++=⎣⎦⎡⎤=−++=⎣⎦2;2;2;xxxyxyyyyzyzzzzxzxGTGGTGGTGσελθβτγσελθβτγσελθβτγ=++==++==++=和热弹性基本方程Chapter12.1‹边界条件¾与等温弹性问题一样，„位移边界条件：‡应力边界条件：iiuuuS=在上ijjiXSσσν=在上‹线性与可叠加性¾在线性热弹性问题中，所有基本方程都是线性的，因而当温度变化与载荷作用同时存在时，可将它们分别求解，然后再进行迭加。¾本章假定作用在物体上的所有外载荷为零，只分析温度变化所引起的热应力及变形。¾平衡方程及边界条件成为：热弹性基本方程Chapter12.10iuuS=在上0ijjSσσν=在上,0ijjσ=在域内Chapter12热传导基本概念热弹性基本方程热应力问题简例及不产生热应力的条件平面热应力问题热应力问题简例‹两端固定的均质杆，杆中温度由均匀升至,求杆中热应力。(1)假定杆一端自由，温度改变后，杆件的伸长量为(2)实际上杆两端固定，温度升高，杆必然受到压力P的作用。由P力产生的压缩量应等于因膨胀而产生的伸长:(3)若一个三维物体的所有边界被压缩，当内部温度均匀变化T,此时应变，由本构关系可得1ϑ2ϑ()21lPEAEAlαϑϑΔ==−()21llαϑϑΔ=−0ijε=12ijijETασδν=−−lAChapter12‹边界自由的等厚薄板，沿板的高度有不均匀的温度变化，求板中热应力。(1)假定板的两端固定，温度改变后各纵向纤维都不能发生变形，由例1，此时板中将出现应力：同时在两固定端还会产生约束反力：若将假想的板端位移约束解除，则必须加上轴力和弯矩才能在离板端较远处维持应力。热应力问题简例()xEfyσα′=−()cczxccMydyEfyydyσα−−′=−=∫∫()ccxxccNdyEfydyσα−−′==−∫∫()Tfy=xNzMxσ′Chapter12热应力问题简例(2)实际的板周边自由，因此为了使应力边界满足，必须在假想的情况下加轴力和力矩由叠加原理，板中的应力轴力产生的应力为：力距产生的应力为：xxxxσσσσ′′′′′′=++xN−zM−()22cxxcNEfydyccασ−′′=−=∫()332czxcMyyEfyydyIcσα−′′′==∫Chapter12xN−zM−热应力问题简例(3)若温度变化T只是坐标的线性函数，代入应力的表达式中，得到，即板中无应力。对于一般的热应力问题，可以证明，如果物体边界上没有指定的位移约束及边界力作用，且体力为零，则物体内部的变温分布为笛卡尔坐标的线性函数时，物体内将不产生热应力。()fyaby=+xσ0xσ=下面两种温度场将是无应力温度场：(i)定常无热源的线性分布温度场；(ii)温度场非定常，同时物体内存在线性分布的热源。Chapter12Chapter12热传导基本概念热弹性基本方程热应力问题简例及不产生热应力的条件平面热应力问题平面热应力问题„平面应变热弹性问题物体为等截面长柱体，垂直于轴线的载荷沿轴向z均匀分布，柱体表面的传热条件沿柱体母线保持不变。物体轴向位移分量为零，所有应力应变均为横截面内坐标x,y的函数。于是0zxzyzεγγ===由热弹性胡克定律(12.24)式()0xzyzzxyETττσνσσα===+−Chapter12平面热应力问题利用的表达式，平面应变热弹性问题中面内应力与应变分量间的关系可以写为()()221111111xxyyyxxyxyTETEGννεσσνανννεσσνανγτ−⎛⎞=−++⎜⎟−⎝⎠−⎛⎞=−++⎜⎟−⎝⎠=zσChapter12平面热应力问题„平面应力热弹性问题物体为薄板型构件，只在薄板边缘上受面内载荷。沿板厚（z方向）热力学条件保持不变。薄板上下表面无载荷作用，板内应力满足：0zxzyzσσσ===由热弹性胡克定律(12.24)式()0xzyzzxyTEγγνεσσα===−++Chapter12平面热应力问题平面应力热弹性问题中面内应力、应变间的关系()()111xxyyyxxyxyTETEGεσνσαεσνσαγτ=−+=−+=Chapter12平面热应力问题平面热弹性问题应力-应变关系的统一形式()()1111111xxyyyxxyxyTETEGεσνσαεσνσαγτ=−+=−+=平面应变平面应力()1211111EEννννανα=−=−=+111EEνναα===()()1111211111211111xxyyyxxyxyETETGσενενανσενεναντγ⎡⎤=+−+⎣⎦−⎡⎤=+−+⎣⎦−=Chapter12平面热应力问题平衡方程、几何方程及面内应变分量的协调方程对两类热弹性平面问题是相同的。无体力时平衡方程为0,0xyxyyxxyxyττσσ∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂几何方程xyxyuvuvxyyxεεγ∂∂∂∂===+∂∂∂∂；；协调方程22222yxyxyxxyεγε∂∂∂+=∂∂∂∂当变温分布T已知时，利用以上方程，再结合平面内边界条件，就可以求解面内的应力、应变与位移分量。Chapter12平面热应力问题上述基本方程的求解可以采用位移法或应力函数法。2111112111111121111211uTuxxyxuTvyxyyννυαννννυανν⎛⎞++∂∂∂∂∇++=⎜⎟−∂∂∂−∂⎝⎠⎛⎞++∂∂∂∂∇++=⎜⎟−∂∂∂−∂⎝⎠以位移表示的平衡方程采用应力函数求解时，令22222xyxyyxxyφφφσστ∂∂∂===−∂∂∂∂；；以应力函数表示的变形协调方程为22211ETφα∇∇=−∇Chapter12平面热应力问题„平面轴对称问题物体的截面形状及温度分布沿轴向无变化，并具有轴对称性。在采用柱坐标描述时，所有量都仅是坐标的函数，并且有000zrzrzrzruθθθθθεεετττ=======；；rθ、、zr平衡方程0rrddrrθσσσ−+=几何方程rrrduudrrθεε==；应变协调方程()0rdrdrθεε−=Chapter12平面热应力问题面内应力、应变间的物理方程为()()111111111rrrrrTETEGθθθθθεσνσαεσνσαγτ=−+=−+=()()1111211111211111rrrrrETETGθθθθθσενενανσενεναντγ=+−+⎡⎤⎣⎦−=+−+⎡⎤⎣⎦−=平面应变问题轴向应力平面应力问题轴向应变()zrTEθνεσσα=++()zrETθσνσσα=+−Chapter12平面热应力问题位移法求解平面轴对称热应力问题将物理方程代入到平衡方程得到()()()()111111rrddTrrdrdrθθενενεενα++−−=+再将几何方程代入()2112211rrrduduudTdrrdrrdrνα+−=+()()1111rdddTrudrrdrdrνα⎡⎤⇒=+⎢⎥⎣⎦对上式直接积分得出位移的一般解为ru()211111rraCuTdCrrrναρρ=+++∫Chapter12平面热应力问题将位移回代到几何方程求得应变，再代入物理方程，得到应力分量为()()()()1111121222111111112122211111111111rraraEETdCCrrEETdETCCrrθσαρρνννσαρραννν⎡⎤=−++−−⎢⎥−⎣⎦⎡⎤=−+++−⎢⎥−⎣⎦∫∫取为轴对称体的内孔半径，对实心体取为零。式中为积分常数，需由边界条件确定。由于12CC、001lim0rrTdrρρ→=∫对实心柱体，应为有界，可知。ru20C=aChapter12a平面热应力问题应力函数法求解平面轴对称热应力问题将平衡方程改写为()0rdrdrθσσ−=rdrdrθφφσσ==；则平衡方程自动满足，代入到物理方程，求得应变，再代入应变协调方程，得到()111dddTrEdrrdrdrφα⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦引入函数，使()rφChapter12平面热应力问题21111raDETdDrrrφαρρ=−++∫应变协调方程()111dddTrEdrrdrdrφα⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦对上式直接积分，得到应力函数的一般解这里应力函数的一般解与位移的一般解具有相同的形式。φru应力分量21112221112211rraraDETdDrrDETTdDrrθσαρρσαρρ=−++⎡⎤=−++−⎢⎥⎣⎦∫∫平面应变问题的轴向应力121zETDασνν=−+−Chapter12平面热应力问题对两端两端固定的长轴对称体，为了使轴向位移，必须在它的两端作用轴向应力。它们在端面上的合力为：0w=121zET