第六讲-行程问题8-时钟问题

第六讲行程问题（8）——时钟问题【知识精要】同学们有没有注意过墙上挂的大钟或者手上的手表，以大钟为例子，钟上面有三根针：时针分针和秒针，有的时候，这些指针会形成独特的图形，比如12点整的时候，三根针会重合12点的那个地方，而6点整的时候，时针和分针会成一条直线，其中时针指6，分针指12。如果形象地去想象，12点的时候，就好像三根针在同一起跑线上开始出发，秒针跑得最快，很快就走过了一圈又一圈，分针慢一些，一步一步挪着步子，而时针就像一个年迈的老人，老半天才能走一格，这样的赛跑每天每时每刻都在进行，这一讲，我们就来探讨时针分针秒针他们赛跑的问题，这也可以看作一类行程问题，我们就来看看其中的奥妙。既然我们把这类问题看做行程问题，就会遇到行程问题一个一贯的问题：路程，速度与时间之间的关系，可是既然是在时钟上做文章，时间肯定不成问题，时针分针秒针自己的运动就代表着时间的标准，但是路程和速度如何计算呢？同学们肯定能想到，整个钟面就像一个环形跑道，那么时钟问题也一定和环形跑道有着千丝万缕的联系，再想得深刻一点，我们可以发现，时针分针秒针都是沿着同样的方向，就是我们平时所说的“顺时针”方向在移动，既然不存在相向和相背的运动，这类问题就只剩下追及问题了，所以时钟问题抽象出来，实质就是环形跑道上的追及问题。可是上面的问题还没有解决，如何来衡量路程和速度，不同的钟面大小不一样，钟楼顶层的大钟，半径可能有好几米，而我们平时手上戴的手表，半径才1厘米左右，这样，我们的速度和路程也就变得非常复杂，有没有什么可以简单计算的方法呢？我们知道，生活常识告诉我们，秒针每分钟走一圈，分针每小时走一圈，而时针呢，要12小时才能走一圈，如果我们把钟面按照刻度划分成12个格子的话，就相当于时针每小时走1格，分针每小时走12格，如此等等，如果再仔细想一想，如果我们把钟面看作一个普通的圆，刻度就是在圆周上的12等分，把等分点和圆心相连，就得到12个30度的圆心角，而三根时针正是在“跑”这样的圆心角，一圈的路程就是360度，而每一格就相当于30度，这样形容速度，所有的钟面就都很清楚了，时针每小时走一格就是60分钟走30度，相当于每分钟0.5度，分针每小时走一圈就是60分钟走360度，相当于每分钟6度，而秒针每分钟就能走一圈，也就是每分钟360度，这样他们的速度也就能表示出来了，当然，我们还可以用小时或者秒来作为时间的单位，之间的换算关系如下表所示：速度时间每小时每分钟每秒时针速度30度12度1120度分针速度360度6度110度秒针速度21600度360度6度既然速度用角度作为计量，同样的，路程也应该用角度作为计量，这样钟面这样一个“环形跑道”，它的路程就是一圈360度，而我们的题目，也往往就是用两个针之间所成的角度来衡量他们之间的“距离”的，解决的思路和普通行程问题里的追及问题没有两样，我们将在题目中具体讲述。【例题精选】【例1】指出下列时间里，时针和分针所成的角度：（1）12点；（2）6点；（3）3点；（4）4点30分；（5）3点10分；（6）7点32分。【分析】这个题目的意思很明显，是让我们来认识在时钟问题中的“路程”，前面的【知识精要】里已经指出，这里的时钟问题中的路程指的是角度，因此，解决时钟问题，首先要会计算不同的时间，所成的角度是多少。计算指针之间的夹角往往有两种方法，一种是画出指针的位置，然后直接计算，一种是从某一个时间开始计算，然后看两个指针移动了多少度，然后就可以得出具体最后是多少度角了。【解答】（1）12点的时候，时针和分针重合在12点的刻度上，因此角度为0°。（2）6点的时候，时针指向6点刻度，分针指向12点刻度，之间相差6格，因此角度为180°。（3）3点的时候，时针指向3点刻度，分针指向12点刻度，之间相差3格，因此角度为90°。（4）4点30的时候，分针指向6的刻度，时针指向4和5刻度的中间，之间相差一格半，因此角度为45°。（5）3点10分的时候，分针指向2的刻度，时针在3的刻度后过了10分钟，10分钟时针可以走11052°，因此之间相差1格加上5°，为35°。（6）7点32分的时候，是从7点30分之后过了2分钟，7点30分的时候，分针指向6的刻度，时针指向7和8的中间，之间相差1格半为45°，且时针在前（按照顺时针方向看），过了两分钟，时针走了1212°，分针走了12°，因此之间的角度为4511234。【评注】这个题目属于时钟问题的初级问题，主要是让大家熟悉一下具体时间的角度的计算，这个是解决这类问题的基础，只有很快能计算出任何时间所夹的角度，才能在后面问题的解决里占尽先机，另外要提醒大家的是，解决这类问题，一定要脑子里有一个钟的形象，如果不好想象的情况，就要学会画图来解决。【举一反三】1，计算下列时间的时候，时针和分针所成的角度：（1）7点；（2）12点30分；（3）6点30分。2，计算下列时间的时候，时针和分针所成的角度：（1）7点15分；（2）8点10分；（3）5点45分。3，计算下列时间的时候，时针和分针所成的角度：（1）8点12分；（2）9点24分；（3）10点13分。【例2】时钟在12点的时候，时针和分针重合在一起，下一次重合在一起的时候是什么时间呢？【分析】12点的时候，时针分针重合在一起，相当于它们从起跑线“12点”的位置同时出发，分针跑得比时针快，因此过一段时间之后，分针会追上时针，也就是说，这个时候，分针超出了时针整整一圈，这个时候它们就再次重合在一起了，也就是说，我们要求出的就是：“分针什么时候超出时针一圈”，一圈的路程就是360°，分针的速度是6°每分钟，时针的速度是12°每分钟，它们的速度差就是116522度，因此可以利用环形跑道的追及问题的方法来解决。【解答】分针的速度是每分钟6°，时针的速度是每分钟12°。它们的速度差为116522（度），时针和分针再次重合，也就是分针超出了时针一圈，因此路程为360°。所花时间为：1272053605360652111111（分钟）。因此，再次重合的时间为1点5511分。【评注】从这道题目里，我们可以发现，时钟问题本质上就是环形跑道的追及问题，而路程用角度来衡量，速度在前面我们已经提到，因此基本的公式就是：路程差=速度差×时间。另外，需要提醒大家注意的是，这里的时间都是准确时间，而且我们把指针的移动看作连续的，也就是说，这里我们理想地认为指针不是跳着走的，而是连续平均地移动，所以这道题目的结果里才会出现5511分这样的时间，而在平时，我们在钟面上是肯定读不出这样的时间的。【举一反三】1，时钟在12点的时候，时针和分针重合在一起，这次重合之后（这次不算），第二次重合在什么时间呢？2，5点以后，时针和分针什么时候第一次重合在一起？3，1点10分后过多久，分针和秒针会第一次重合在一起？【例3】时针和分针成90度角，那么，之后多久会第一次重合在一起？【分析】这个题目要注意的关键是，时针和分针成90°角，但是却有可能有两种位置关系，第一种是按照顺时针方向，分针在后，时针在前，就好像3点整的那样，另外一种情况是分针在前时针在后，比如9点钟的时候，这两种情况，由于分针要追时针，走的路线不同，因此要分别进行讨论。考虑类似3点钟的情况，这个时候分针在后面，时针按照顺时针方向正好在它前面90°，因此正好需要追的路程也是90°，而9点钟的情况，分针在前面，因此需要绕过大半个钟面，之间的路程差为360°-90°=270°，因此分两种情况解决。【解答】（1）当按照顺时针方向，分针在时针后面90°的时候，需要的时间是：12180490(6)90162111111（分）；（2）当按照顺时针方向，分针在时针前面90°的时候，需要的时间是：125401270(6)270492111111（分）。答：根据不同情况，时针和分针会在41611或14911分钟之后重合。【评注】这个问题提醒我们注意的就是成的角度，除非180°和0°（即重合），会出现顺时针和逆时针两种方向的角度，因此我们在具体处理问题的时候，无论是给的条件还是最后得出的结论，都需要谨慎考虑，把两种情况辨析清楚，才能完整解决题目。【举一反三】1，时针和分针成60度角，那么，它们在之后多久会第一次重合？2，时针和分针成180度角，那么它们会在多久之后第一次重合？3，时针和分针成90度角，它们下一次成90度角是在多久以后？【例4】时针和分针重合在一起，它们多久之后会第一次成90°角？【分析】这个题目有同学就要问了，之后它们成90度角，是不是也有两种情况，第一钟顺时针时针在分针前面，第二种分针在时针前面呢？但是我们要注意仔细分析，这个题目它们是从重合开始出发，也就是它们的出发点是一样的，因为分针跑得比时针快，所以必然是分针先把时针“抛下”90°，也就是说，要问第一次成90°角，必然是分针在前，时针在后的90°角，而不会是另外一种情况，分析清楚了，问题也就不难解决了。【解答】因为分针的速度比时针快，因此第一次成90°的时候，必然是分针在前时针在后，所以路程为90°，所需要的时间就是1490(6)16211（分）。答：41611分钟之后，它们会第一次重合。【评注】是不是有两种情况，要具体问题具体分析，不能简单地就作出判断，其实三个针的速度相差很大，同学们脑子里面稍微模拟一下钟面上指针的情况就能作出判断了，所以解决时钟问题，很大程度上让自己多去想象钟面的实际情况。【举一反三】1，时针和分针重合在一起，它们多久之后会第一次成60度角？2，时针和分针重合在一起，它们多久之后会第二次成60度角？3，时针和分针重合在一起，从它们第二次成60度角到再次重合需要多长时间？【例5】时针和分针成60°角，它们之后什么时候会第一次成30°角？【分析】这个问题就比较复杂了，首先是60°角就有两种情况，然后之后成30°角又有可能两种情况，因此我们要一个一个情况来进行处理，首先分析开始的60°，有两种情况，第一种情况是时针在前分针在后，这个时候，它们之间的角度在减少，这样的话，它们要成30°角，就必然是分针在追时针的过程中，从60°减少为30°，因此路程为30°。而不可能出现它们重合之后，分针超出时针30°的情况。第二种情况就是时针在后分针在前，这个时候，分针要追过大半个钟面才能和时针从300°减少为30°，因此路程为270°，这个时候，也不可能出现分针和时针重合之后再超出30°的情况，根据这两种情况的分析进行求解。【解答】（1）沿顺时针方向，时针在分针前60度开始，追到只有30度的时候，路程为30°，因此所需要的时间为15(6030)(6)5211（分）。（2）沿顺时针方向，分针在时针前60度开始，追到只有30度的时候，路程为270°，因此所需要的时间为15401[(36060)30](6)4921111（分）。答：根据不同情况，时针和分针会在5511或14911分钟之后重合。【评注】这个题目开始看起来好像有四种情况，因为不管是60°还是30°，都会出现顺时针和逆时针的问题，但是经过仔细的分析之后，我们发现，实际上对于每一种60°的情况，分针对时针的追赶都是唯一的，也就是说，最后的30°不是任意的，而是取决于前面所成的60°角的情况，因此我们在任何时候都要切记具体问题具体分析，根据不同的情况仔细考虑特点。【举一反三】1，时针和分针成90度角，它们之后什么时候会第一次成30度角？2，时针和分针成120度角，它们之前最近一次成60度角是多久之前？3，时针和分针成45度角，离它们最近一次（之前或者之后）成30度角是什么时候？【例6】12点的时候，时针和分针重合，到下一个12点之间，时针和分针一共可以重合多少次？（两次12点都不算）【分析】我们来想象一下，从12点开始，分针不停地超过时针，每超过一次，它们就重合一次，这道题目就相当于询问可以超越多少次。从【例2】我们知道，每过一个固定的时间，时针和分针就重合一次，而从现在的12点到下一个12点，之间正好是12个小时，因此只要用12小时除以两次