周世勋――量子力学课件

目录第一章量子力学的诞生第二章波函数和Schrodinger方程第三章一维定态问题第四章量子力学中的力学量第五章态和力学量表象第六章近似方法第七章量子跃迁第八章自旋与全同粒子附录科学家传略第一章量子力学的诞生•§1经典物理学的困难§2量子论的诞生§3实物粒子的波粒二象性§1经典物理学的困难(一）经典物理学的成功19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：(1)应用牛顿方程成功的讨论了从天体到地上各种尺度的力学客体体的运动，将其用于分子运动上，气体分子运动论，取得有益的结果。1897年汤姆森发现了电子，这个发现表明电子的行为类似于一个牛顿粒子。(2)光的波动性在1803年由杨的衍射实验有力揭示出来，麦克斯韦在1864年发现的光和电磁现象之间的联系把光的波动性置于更加坚实的基础之上。（二）经典物理学的困难但是这些信念，在进入20世纪以后，受到了冲击。经典理论在解释一些新的试验结果上遇到了严重的困难。（1）黑体辐射问题（2）光电效应（3）氢原子光谱黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。实验发现：辐射热平衡状态:处于某一温度T下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T有关而与黑体的形状和材料无关。能量密度(104cm)0510Wien线能量密度(104cm)0510Wien公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。1.Wien公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：1.Wien公式Wien线能量密度(104cm)0510Wien公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。（2）光电效应光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。试验发现光电效应有两个突出的特点：•1.临界频率v0只有当光的频率大于某一定值v0时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生。光的这一频率v0称为临界频率。•2.电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光强只决定电子数目的多少。光电效应的这些规律是经典理论无法解释的。按照光的电磁理论，光的能量只决定于光的强度而与频率无关。（3）原子光谱，原子结构氢原子光谱有许多分立谱线组成，这是很早就发现了的。1885年瑞士巴尔末发现紫外光附近的一个线系，并得出氢原子谱线的经验公式是：是光速。常数是氢的其中CRydbergmRnnCRHH,1009677576.1,5,4,31211722mnnmCRH2211•这就是著名的巴尔末公式（Balmer）。以后又发现了一系列线系，它们都可以用下面公式表示：人们自然会提出如下三个问题：1.原子线状光谱产生的机制是什么？2.光谱线的频率为什么有这样简单的规律？3.光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实启发我们思考：怎样的发光机制才能认为原子的状态可以用包含整数值的量来描写。氢原子光谱谱系mn区域Lyman12,3,4,......远紫外Balmer23,4,5,......可见Paschen34,5,6,......红外Brackett45,6,7,......远红外Pfund56,7,8,......超远红外mnnmCRH2211从前，希腊人有一种思想认为：自然之美要由整数来表示。例如：奏出动听音乐的弦的长度应具有波长的整数倍。这些问题，经典物理学不能给于解释。首先，经典物理学不能建立一个稳定的原子模型。根据经典电动力学，电子环绕原子核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，电子的能量变得越来越小，因此绕原子核运动的电子，终究会因大量损失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩溃”了，但是，现实世界表明，原子稳定的存在着。除此之外，还有一些其它实验现象在经典理论看来是难以解释的，这里不再累述。总之，新的实验现象的发现，暴露了经典理论的局限性，迫使人们去寻找新的物理概念，建立新的理论，于是量子力学就在这场物理学的危机中诞生。§2量子论的诞生（一）Planck黑体辐射定律（二）光量子的概念和光电效应理论（四）波尔（Bohr）的量子论（三）Compton散射——光的粒子性的进一步证实§2量子论的诞生（一）Planck黑体辐射定律（二）光量子的概念和光电效应理论（四）波尔（Bohr）的量子论（三）Compton散射——光的粒子性的进一步证实（一）Planck黑体辐射定律究竟是什么机制使空腔的原子产生出所观察到的黑体辐射能量分布，对此问题的研究导致了量子物理学的诞生。•1900年１２月１４日Planck提出：如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的模型，Planck假定：•该式称为Planck辐射定律Planck线能量密度(104cm)0510（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v振荡；（2）黑体只能以E=hv为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。对Planck辐射定律的三点讨论：•（1）当v很大（短波）时，因为exp(hv/kT)-1≈exp(hv/kT)，于是Planck定律化为Wien公式。dkThChd1)/exp(1833dkThChd)/exp(833dTCCdWien)/exp(231公式•（2）当v很小（长波）时，因为exp(hv/kT)-1≈1+(hv/kT)-1=(hv/kT)，则Planck定律变为Rayleigh-Jeans公式。dkThChd1)/exp(1833kTdCdhkTChd233388dkTCdJeansRayleigh238公式dkThChd1)/exp(1833对Planck辐射定律的三点讨论：•（1）当v很大（短波）时，因为exp(hv/kT)-1≈exp(hv/kT)，于是Planck定律化为Wien公式。dkThChd1)/exp(1833dkThChd)/exp(833dTCCdWien)/exp(231公式•（2）当v很小（长波）时，因为exp(hv/kT)-1≈1+(hv/kT)-1=(hv/kT)，则Planck定律变为Rayleigh-Jeans公式。dkThChd1)/exp(1833kTdCdhkTChd233388dkTCdJeansRayleigh238公式dkThChd1)/exp(1833（二）光量子的概念和光电效应理论（1）光子概念（2）光电效应理论（3）光子的动量(1)光子概念第一个肯定光具有微粒性的是Einstein，他认为，光不仅是电磁波，而且还是一个粒子。根据他的理论，电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C传播，这种粒子叫做光量子，或光子。由相对论光的动量和能量关系p=E/C=hv/C=h/λ提出了光子动量p与辐射波长λ（=C/v）的关系。（2）光电效应理论用光子的概念，Einstein成功地解释了光电效应的规律。当光照射到金属表面时，能量为hν的光子被电子所吸收，电子把这份能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分用来提供电子离开金属表面时的动能。其能量关系可写为：AhV221•从上式不难解释光电效应的两个典型特点：光电效应的两个典型特点的解释•1.临界频率v02.光电子动能只决定于光子的频率由上式明显看出，能打出电子的光子的最小能量是光电子V=0时由该式所决定，即hv-A=0，v0=A/h，可见，当vv0时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。上式亦表明光电子的能量只与光的频率v有关，光的强度只决定光子的数目，从而决定光电子的数目。这样一来，经典理论不能解释的光电效应得到了正确的说明。AhV221（2）光电效应光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。试验发现光电效应有两个突出的特点：•1.临界频率v0只有当光的频率大于某一定值v0时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生。光的这一频率v0称为临界频率。•2.电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光强只决定电子数目的多少。光电效应的这些规律是经典理论无法解释的。按照光的电磁理论，光的能量只决定于光的强度而与频率无关。（3）光子的动量光子不仅具有确定的能量E=hv，而且具有动量。根据相对论知，速度为V运动的粒子的能量由右式给出：是粒子的静止质量。其中022201CVCE222202)()()(pCpCCEnkhknnhnChnCEphE22其中对于光子，速度V=C，欲使上式有意义，必须令0=0,即光子静质量为零。根据相对论能动量关系：CEppCE/或系：于是得光子的能动量关总结光子能量、动量关系式如下：把光子的波动性和粒子性联系了起来•虽然爱因斯坦对光电效应的解释是对Planck量子概念的极大支持，但是Planck不同意爱因斯坦的光子假设，这一点流露在Planck推荐爱因斯坦为普鲁士科学院院士的推荐信中。“总而言之，我们可以说，在近代物理学结出硕果的那些重大问题中，很难找到一个问题是爱因斯坦没有做过重要贡献的，在他的各种推测中，他有时可能也曾经没有射中标的，例如，他的光量子假设就是如此，但是这确实并不能成为过分责怪他的理由，因为即使在最精密的科学中，也不可能不偶尔冒点风险去引进一个基本上全新的概念”（三）Compton散射-光的粒子性的进一步证实。（1）Compton效应经典电动力学不能解释这种新波长的出现，经典力学认为电磁波被散射后，波长不应该发生改变。但是如果把X--射线被电子散射的过程看成是光子与电子的碰撞过程，则该效应很容易得到理解1散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ'λ；2波长增量Δλ=λ’–λ随散射角增大而增大。这一现象称为Compton效应。X--射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。该效应有如下2个特点：（2）定性解释根据光量子理论，具有能量E=hν的光子与电子碰撞后，光子把部分能量传递给电子，光子的能量变为E’=hν’显然有E’E,从而有ν’ν,散射后的光子的频率减小，波长变长。根据这一思路，可以证明：波长。称为电子的其中ComptoncmCm100020104.222sin2•式中也包含了Planck常数h，经典物理学无法解释它，Compton散射实验是对光量子概念的一个直接的强有力的支持。•该式首先由Compton提出，后被Compton和吴有训用实验证实，用量子概念完全解释了Compton效应。因为式右是一个恒大于或等于零的数，所以散射波的波长λ'总是比入射波波长长（λ'λ）且随散射角θ增大而增大。（3）证明根据能量和动量守恒定律：vmkkcmmc202kccc22代入得：20)()(cmmkkc两边平方：)1()()2(220222cmmkkkk两边平方)2()()cos2(2222mvkkkk（2）式—（1）式得：2020222)2(