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关于恰当微分方程解法的探究摘要:本文首先给出了微分方程的基本概念.在此基础上,探讨了恰当微分方程的解法.关键词:恰当微分方程;通解;特解SolvingMethodofTheProperDifferentialEquationAbstract:Thispaperfirstlyintroducesthebasicconceptofdifferentialequations.onsuchabasis,thepaperprobesintothesolutionsoftheproperdifferentialequations.Keywords:Properdifferentialequation;generalsolution;particularsolution引言本文结合一些典型的例题,介绍微分方程解的一些基本概念,重点探究了恰当微分方程和可化为恰当微分方程的解法.1.有关微分方程的解的一些概念1.1解的表示形式定义:设函数yx在区间I有直到n阶的导数,如果把yx及其相应的各阶导数代入方程,0nFxxx能使得该式成立,则函数yx,xI为方程的一个解.例1试验证函数tan,,22yxx是方程21dyydx的解.解显然tanyx在区间,22x上可导,把他代入方程后对一切的,22x有'22tansec1tanxxx.1.2通解和特解1通解我们知道一个重要事实,就是微分方程存在有含有任意常数的解,而且我们看到,解中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等,我们把含有任意个常数的解叫方程的通解.例如xyce为一阶方程'yy的通解.2特解如果已求得一微分方程的通解,而欲求满足一个初值条件的特解,往往可以用初值条件去确定通解中的常数从而得到特解.对于一阶微分方程而言,设已知通解为,yxc,想要求满足初值条件00yxy的特解.为了确定,yxc中的c,可将00yxy代入得到方程00,yxxc解出c代入通解中得到0c即0,yxc为满足初值条件的特解.2.恰当微分方程2.1一般恰当微分方程的解法若一阶微分方程0),(),(dyyxNdxyxM1.1.2的左端恰好是某个二元函数的全微分,即dyyudxxuyxdudyyxNdxyxM),(),(),(则1.1.2为恰当微分方程,其中),(yxM,),(yxN为某矩形区域上连续且具有连续的一阶偏导数.那么如何判定一个微分方程是否为恰当微分方程呢,下面给出其判别方法.若1.1.2为恰当微分方程,则xuM2.1.2yuN)3.1.2(对2.1.2,)3.1.2(分别求关于y,x的偏导数,有yxuyM2xyuxN2由yM,xN的连续性,xyuyxu22故xNyM,此即为判定微分方程是否为恰当微分方程的充要条件.下面来讨论1.1.2的通解形式由2.1.2知)(),(ydxyxMuy是y的可微函数,下面来求y使y也满足)3.1.2(NdyyddxyxMyyu)(),(由此知dxyxMYNdyyd),()(下证dxyxMyN),(与x无关即可.0),(),(),(YMxNdxyxMxyxNdxyxMyxxNdxyxMNx所以左边与x无关.积分得dydxyxMyNy),()(所以dydxyxMyNdxyxMyxu),(),(),(从而,原方程的通解为CdydxyxMyNdxyxMyxu),(),(),(C为任意常数.例2求解方程046633222dyyyxdxxyx解由于2263,xyxyxM,yxyxN26,所以xyyM12,xyxN12因此原方程为恰当微分方程.现在求u使其满足2263xyxxu3246yyxyu由15.2得yyxxydxxyxu22322363为了确定y对17.2求关于y的导数322466yyxdyydyxyu即得34ydyyd两边积分得4yy所以42233yyxxu从而,原方程的解为Cyyxx42233注对于一些恰当微分方程不需要如此复杂的过程,通过观察可以采用“分项组合”的方法.例3求解方程01sincos11cossin1222dyyyxyxxyxdxxyxyyxy解原方程可以变形为01cos1sin222ydydxdyxdxxyxydyyxdxyyx即0cossin2ydydxxydxyyxdyx即01sincosyddxxydyxd所以,原方程的通解为Cyxyxxy1cossin2.2可化为恰当微分方程的解法对非恰当微分方程我们可引入积分因子将其化为恰当微分方程,从而加以解决.若存在连续的函数yxu,且0,yxu使0,,,,dyyxNyxudxyxMyxu为一恰当微分方程,即存在函数yxv,yxdvdyyxNyxudxyxMyxu,,,,,则yxu,为原方程1.1.2的积分因子.注这时原方程的解为Cyxv,下面只对含yx的积分因子作寻求.由微分方程为恰当微分方程的必要条件得xuNyuM即得xNuxuNyMuyuM从而有uyMxNxuNyuM若只含有关于x的积分因子,则0yu从而有NxNyMudu从而只含有与x有关的积分因子充要条件是xNxNyMudu这里x仅为x的函数.所以原方程的一个积分因子为dxxeu同理,可以得到原方程只含有与y有关的积分因子的充要条件是yMxNyM这里y仅为y的函数.求得原方程的一个积分因子dyyeu例4求解方程0cossinsincosdyxxxydxxxxy解由于xyMcos,xxxxyxNsincoscos由此知方程不是恰当微分方程.又1cossincossinxyxxxyxxMxNyM所以原方程含有与y有关的积分因子yeu用yeu乘原方程的两边得0cossinsincosdyxxxyedxxxxyeyy令yxexxexyeydxxxexyeuyyyyysincossin)()sincos(所以xxexyeyxexxexyexeyuyyyyyycossinsincossinsin从而xeyysin2进一步有xexxexyeuyyysincossin原方程的解为Cxexxexyeyyysincossin
本文标题:恰当微分
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