2018-2019学年重庆市第八中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)

第1页共17页2018-2019学年重庆市第八中学高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．等差数列na中，若243,7aa，则6a=()A．11B．7C．3D．2【答案】A【解析】根据2642aaa和已知条件即可得到。【详解】等差数列na中，2642aaa+=642227311aaa\=-=?=故选A。【点睛】本题考查了等差数列的基本性质，属于基础题。2．在VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且,3,13Bba，则c=()A．1B．2C．31D．3【答案】B【解析】利用余弦定理并解方程即可得到。【详解】由余弦定理2222cosbacacB可得：()2223=12cos3ccp-+即220cc，解得2c，或1c（舍）故选B【点睛】本题考查了余弦定理及一元二次方程的求解，属于基础题。3．数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的第2页共17页下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．2盏C．3盏D．4盏【答案】C【解析】由等比数列的求和公式得到塔顶层的灯盏数。【详解】设塔顶共有1a盏灯由题意数列na为公比为2的等比数列()7171238112aS-\==-解得13a故选C【点睛】本题考查了等比数列的求和公式，关键是识别其为等比数列，属于基础题。4．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示。若向量cab，则实数=()A．-2B．-1C．1D．2【答案】D【解析】建立平面直角坐标系xOy，用坐标表示向量a，b，c，根据cab，即可确定。【详解】如图建立平面直角坐标系xOy，第3页共17页(1,1)a，(0,1)b，(2,1)c(,1)ab2(1)ll\-=即=2故选D。【点睛】解决本题的关键是建立直角坐标系，用坐标来表示向量，利用向量的坐标运算得到，属于基础题。5．在VABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，2cos22Caba，则VABC的形状一定是()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】利用平方化倍角公式和边化角公式化简2cos22Caba得到sincossinACB=，结合三角形内角和定理化简得到cossin0AC，即可确定VABC的形状。【详解】22cos2abaC+=1cossinsin22sinCABA++\=化简得sincossinACB=()BACp=-+sincossin()ACAC\=+即cossin0AC第4页共17页sin0C¹Qcos0A即0A=90ABC是直角三角形故选A【点睛】本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简2cos22Caba时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略。6．等比数列na的前n项和为nS，若243,15SS，则56aa()A．16B．17C．48D．49【答案】C【解析】利用12aa和34aa的关系求出2=4q，再将56aa转化为25346()aaqaa即可得出。【详解】设等比数列na的公比为q，123aa+=,344215312aaSS+=-=-=()23412aaqaa\=++解得2=4q即25346()41248aqaaa故选C。【点睛】本题考查了等比数列的基本性质，关键是利用等比数列的通项的变形公式进行化简。7．如图，在VABC中，45B，D是BC边上一点，27,6,4ADACDC，则AB的长为()A．2B．36C．33D．32【答案】B第5页共17页【解析】由余弦定理得到60C，结合正弦定理sinsinABACCB，即可确定AB的长。【详解】由余弦定理可得22246(27)1cos2462C+-==创60C°\=sinsinABACCB=得到36sin236sin22CACABB××===故选B【点睛】本题对正弦定理和余弦定理综合进行考查，属于中档题。8．在边长为4的等边VABC中，M，N分别为BC，AC的中点，则AMBN=()A．-6B．6C．0D．32【答案】A【解析】设ABaACb==，分别去表示AM，BN，利用向量间的运算法则得到AMBN。【详解】设ABaACb==则1111()()2222AMABACabab=+=+=+1122BNACBbAa=+=-+111222AMBNabab骣骣琪琪\?+-+琪琪桫桫22111424baab=--?221114444cos60424=??创?6第6页共17页故选A【点睛】本题考查了向量的数量积，关键是将未知向量AM，BN用已知向量,ab去表示。9．如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得15BCD，45BDC，302CDm，并在点C测得塔顶A的仰角为30，则塔高AB为()A．302mB．203mC．60mD．20m【答案】D【解析】由正弦定理确定BC的长，再tan30ABBC°=?求出AB。【详解】15BCD，45BDC120CBD°\?由正弦定理得：302sin120sin45BC鞍=302sin45203sin12BC°°\==3tan30203203ABBC°状=\==故选D【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC，属于基础题。10．已知向量a，b满足：||1,(1,3)ab，a与b的夹角为23，则2ab为()A．21B．21C．13D．1743第7页共17页【答案】B【解析】分别计算出||b、ab，再将2ab变为2(2)ab-即可计算得出。【详解】22||1(3)2b=+=21||||cos12132ababp骣琪?=创-=-琪桫222|2|(2)44ababaabb\-=-=-?2214(1)4221=-?+?故选B【点睛】本题考查了平面向量模长的计算，将|2|ab转化为2(2)ab-是关键。11．若a，b是方程20(0,0)xpxqpq的两个根，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值为()A．-4B．-3C．-2D．-1【答案】D【解析】由韦达定理确定0a，0b，利用已知条件讨论2ab，，成等差数列和等比数列的位置，从而确定pq的值。【详解】由韦达定理得：0abp+=，0abq=，所以0a，0b由题意2ab，，这三个数可适当排序后成等比数列，且0ab，则2一定在中间所以22=4ab=，即=4q因为2ab，，这三个数可适当排序后成等差数列，且0ab，则2一定不在ab，的中间假设ab，则22ba=+即=44221ababab祆=-镲Þ眄=+=-镲铑=41=5pab\=+---541pq\+=-+=-故选D【点睛】第8页共17页本题考查了等差数列和等比数列的基本性质，解决本题的关键是要掌握三个数成等差数列和等比数列的性质，如2ab，，成等比数列，且0a，0b，则2必为等比中项，有22=4ab=。12．设等差数列na的前n项和为nS，首项10a，公差0d，10210aS，则nS最大时，n的值为()A．11B．10C．9D．8【答案】B【解析】由等差数列前n项和公式得出21S1121a=，结合数列na为递减数列确定10110,0aa，从而得到nS最大时，n的值为10.【详解】由题意可得()2111112120212110212Sadada´=+=+=10210aS?10110aa\?等差数列na的首项10a，公差0d则数列na为递减数列10110,0aa\即当10n时，nS最大故选B。【点睛】本题对等差数列前n项和以及通项公式，关键是将21S转化为1121a，结合数列na的单调性确定nS最大时，n的值为10.二、填空题13．设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且5a，3cos5B，2c，则ABCS______.【答案】4第9页共17页【解析】由平方关系得到sinB，结合三角形面积公式1sin2ABCSacB计算即可得出。【详解】294sin1cos1255BB=-=-=114sin524225ABCSacBD\==创?【点睛】本题考查了三角形面积公式和平方关系，关键是要用平方关系得到sinB。14．已知向量(1,)am，(3,2)b，若()ambb，则m______.【答案】37【解析】写出amb的坐标，利用向量平行的坐标运算计算得出m。【详解】(13,)ambmm+=+-()ambb3(13)20mm\+-=解得37m【点睛】本题考查了向量共线或平行的坐标运算，关键是写出amb的坐标，属于基础题15．已知数列na的前n项积为nT，且满足111nnnaanNa，若12a，则2019T为______.【答案】15892-【解析】由已知条件计算出2a，3a，4a，5a，得出数列na是以4为周期的数列，根据周期性得出2019T。【详解】1211123112aaa23211311132aaa+-===--+第10页共17页3431111211312aaa-+===-[phone]aaa++===--数列na是以4为周期的数列41172(3)236T骣琪=+-+-+=-琪桫201941731504235045892622TT骣琪\=?--=?-=-琪桫【点睛】本题考查了数列的周期数列的求和，计算出2a，3a，4a，5a，确定数列na是以4为周期的数列是关键。16．在VABC中，2,||1ABACAMAM，动点P在线段AM上，则()PAPBPC的最小值为______.【答案】12【解析】先由2ABACAM+=确定M为BC中点，由平行四边形法则得到2PBPCPM+=,利用()=PAPBPC22||||PAPMPAPM?-计算得出。【详解】2ABACAM+=点M是BC的中点2PBPCPM\+=设||PAt=，则||1PMt=-()22||||PAPBPCPAPMPAPM?=?-221122222ttt骣琪=-=--琪桫即当12t时，()PAPBPC的最小值为12【点睛】第11页共17页本题考查了向量的数量积运算和向量的平行四边形法则，将PBPC+转化为2PM是关键。三、解答题17．己知数列na的前n项和为nS且21122nSnnnN.（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）设11nnnbaa，求数列nb的前100项和.【答案】（Ⅰ）nan（Ⅱ）100T100101【解析】（Ⅰ）当2n时，利用1nnnaSS得出na的通项公式nan，当=1n时，验证1a是否满足nan。（Ⅱ）利用数列求和的裂项相消法得到数列nb的前100项和。【详解】（Ⅰ）当2n时，21122nSnn2211111(1)(1)2222nSnnnnn-=-+-=+-两式相减得：1nnnaSSn当=1n时，1111122aS==+=满足nannan\=（Ⅱ）由（Ⅰ）可知111(1)1nbnnnn所以数列nb的前100项和10012100Tbbb=++?1111111122399100100101骣骣骣骣琪琪琪琪=-+-++-+-琪琪琪琪桫桫桫桫11001101101【点睛】已知nS来求na时，可利用数列的前n项和及其与通项第12页共17页公式的关系11,1,2nnnanaSSn-ì=ï=í-?ïî来求na。18．已知a，b，c分别是VABC内角A，B，C的对边.角A，B，C成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列.（Ⅰ）求sinsinAC的值；（Ⅱ）若2a，求VABC的周长.【答案】（Ⅰ）sinsinA