二次根式的知识点梳理与练习

-1-二次根式的知识点梳理与练习知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。练习：1.使式子4x有意义的条件是。2.当__________时，212xx有意义。3.若11mm有意义，则m的取值范围是。4.当__________x时，21x是二次根式。知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。知识点四：二次根式（）的性质（）-2-文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。知识点五：二次根式的性质知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.练习：6.若242xx，则x的取值范围是。7.已知222xx，则x的取值范围是。8.化简：2211xxx的结果是。9.当15x时，215_____________xx。10.把1aa的根号外的因式移到根号内等于。11.使等式1111xxxx成立的条件是。12.若1ab与24ab互为相反数，则2005_____________ab。13.在式子230,2,12,20,3,1,2xxyyxxxxy中，二次根式有（）A.2个B.3个C.4个D.5个14.下列各式一定是二次根式的是（）A.7B.32mC.21aD.ab15.若23a，则2223aa等于（）-3-A.52aB.12aC.25aD.21a16.若424Aa，则A（）A.24aB.22aC.222aD.224a17.若1a，则31a化简后为（）A.11aaB.11aaC.11aaD.11aa18.能使等式22xxxx成立的x的取值范围是（）A.2xB.0xC.2xD.2x19.计算：222112aa的值是（）A.0B.42aC.24aD.24a或42a知识点七：二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab=a·b（a≥0，b≥0）；bbaa（b≥0，a0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【例题精选】二次根式有意义的条件：例1：求下列各式有意义的所有x的取值范围。；）（；）（；）（213122313xxxx小练习：（1）当x是多少时，31x在实数范围内有意义？-4-（2）当x是多少时，23x+11x在实数范围内有意义？②（3）当x是多少时，23xx+x2在实数范围内有意义？（4）当__________时，212xx有意义。2.若11mm有意义，则m的取值范围是。最简二次根式例2：把下列各根式化为最简二次根式：（），（）（），19600224750325121003234abababcab分析：依据最简二次根式的概念进行化简，（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。同类根式：例3：判断下列各组根式是否是同类根式：438532161531751；；）（分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根式。分母有理化：例4：把下列各式的分母有理化：；）；（）（2325223211分析：把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如2与2，5353与均为有理化因式。求值：例5：计算：-5-312115233231214181）（）（分析：迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必须掌握，要特别注意运算顺序和有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。化简：例6：化简：babababa44241）（分析：应注意（1）式ab00，，（2）a0，所以aabb22，，ab4可看作ab224可利用乘法公式来进行化简，使运算变得简单。化简求值：例8：已知：223223ba，求：abab33的值。【专项训练】：一、选择题：在以下所给出的四个选择支中，只有一个是正确的。1、aa112成立的条件是：A．a1B．a1C．a1D．a12、把227化成最简二次根式，结果为：A．233B．29C．69D．393、下列根式中，最简二次根式为：-6-A．4xB．x24C．x4D．()x424、已知t1，化简1212ttt得：A．22tB．2tC．2D．05、下列各式中，正确的是：A．772B．07072..C．7722D．07072..6、下列命题中假命题是：A．设xxx02，则B．设xxx012，则C．设xxx02，则D．设xxx0222，则7、与23是同类根式的是：A．50B．32C．18D．758、下列各式中正确的是：A．235B．2323C．3434axxaxD．127390三1、化简aaa32442、已知：xy123123，求：xxyy225（一）做一做：填空题：1．要使根式3x有意义，则字母x的取值范围是______．2．当x______时，式子121x有意义．-7-3．要使根式234xx有意义，则字母x的取值范围是______．4．若14a有意义，则a能取得的最小整数值是______．5．若xx有意义，则1x______．6．使等式032xx成立的x的值为______．选择题：8．使式子23x有意义的实数x的取值范围是()(A)x≥0(B)32x(C)23x(D)32x9．使式子2||1xx有意义的实数x的取值范围是()(A)x≥1(B)x＞1且x≠－2(C)x≠－2(D)x≥1且x≠－210．x为实数，下列式子一定有意义的是()(A)21x(B)xx2(C)112x(D)12x解答题11．要使下列式子有意义，字母x的取值必须满足什么条件?(1)1||21xx(2)x21(3)232x(4)xx2)1((5)222xx12(1)已知05|3|yx，求yx的值；(2)已知01442yxyy，求yx的值．13问题探究：已知实数x、y满足324422xxxy，求9x＋8y的值．（二）学习要求：掌握二次根式的三个性质：a≥0(a≥0)；(a)2＝a(a≥0)；||2aa．做一做：填空题：1．当a≥0时，2a______；当a＜0时，2a＝______．-8-2．当a≤0时，23a______；2)23(______．3．已知2＜x＜5，化简22)5()2(xx______．4．实数a在数轴上的位置如图所示，化简：2)2(|1|aa______．5．已知△ABC的三边分别为a、b、c则||)(2cabcba______．6．若22)()(yxyx，则x、y应满足的条件是______．7．若0)2(|4|2xyx，则3x＋2y＝______．8．直线y＝mx＋n如图4所示，化简：|m－n|－2m＝______．选择题：9．36的平方根是()(A)6(B)±6(C)6(D)±610．化简2)2(的结果是()(A)－2(B)±2(C)2(D)411．下列式子中，不成立的是()(A)6)6(2(B)6)6(2(C)6)6(2(D)6)6(212．代数式)0(2aaa的值是()(A)1(B)－1(C)±1(D)1(a＞0时)或－1(a＜0时)13．已知x＜2，化简442xx的结果是()(A)x－2(B)x＋2(C)－x＋2(D)2－x14．如果2)2(2xx，那么x的取值范围是()-9-(A)x≤2(B)x＜2(C)x≥2(D)x＞215．若aa2，则数a在数轴上对应的点的位置应是()(A)原点(B)原点及原点右侧(C)原点及原点左侧(D)任意点16．若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简|3|2xx的结果是()(A)4x(B)－4x(C)2x(D)－2x解答题：17．计算：(1);)12(|3|)2(02(2)|21|2)3(0218．化简：(1));1()2()1(22xxx(2).||2)(2xyyx19．已知实数x，y满足04|5|yx，求代数式(x＋y)2007的值．20．已知xxyyx7135，求2)3(|1|yx的值．（三）学习要求：理解二次根式的乘法法则，即)0,0(baabba的合理性，会运用法则进行计算，并会逆用乘法法则对二次根式进行化简．做一做：填空题：1．计算：aba＝______．2．已知xy＜0，则yx2______．3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简22ba的结果是______．-10-4．若,6)4()4)(6(2xxxx则x的取值范围是______．5．在如图的数轴上，用点A大致表示40：选择题：6．化简20的结果是()(A)25(B)52(C)102(D)548．化简5x的结果是()(A)xx2(B)xx2(C)xx2(D)xx29．若a≤0，则3)1(a化简后为()(A)1)1(aa(B)aa1)1((C)aa1)1((D)1)1(aa解答题：10．计算：(1);63(2));7(21(3));102(53(4));804()245((5));25.22(321(6);656)3122(43(7));152245(522(8);24)654((9));3223)(3223(-11-(10));23)(32(xyyx(11);)10253(2(12);10253aba(13));42(2212mnmm(14))12()321(123143zxyxx．11．化简：(1));0(224abaa(2)