高一数学必修五第一章试题——解三角形(带答案)

高一数学必修五第一章试题——解三角形一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是()A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直2．在△ABC中，已知a－2b＋c＝0，3a＋b－2c＝0，则sinA∶sinB∶sinC等于()A．2∶3∶4B．3∶4∶5C．4∶5∶8D．3∶5∶73．△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径为()A．43B．5C．52D．624．已知关于x的方程x2－xcosA·cosB＋2sin2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC一定是()A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形5．△ABC中，已知下列条件：①b＝3，c＝4，B＝30°；②a＝5，b＝8，A＝30°；③c＝6，b＝33，B＝60°；④c＝9，b＝12，C＝60°．其中满足上述条件的三角形有两解的是()A．①②B．①④C．①②③D．③④6．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若a＝1，sinB＝32，C＝π6，则b的值为()A．1B．32C．3或32D．±17．等腰△ABC底角B的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是()A．30°或150°B．15°或75°C．30°D．15°8．若G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且aGA→＋bGB→＋33cGC→＝0，则角A＝()A．90°B．60°C．45°D．30°9．在△ABC中，B＝60°，C＝45°，BC＝8，D为BC上一点，且BD→＝3－12BC→，则AD的长为()A．4(3－1)B．4(3＋1)C．4(3－3)D．4(3＋3)10．在△ABC中，BA→·BC→＝3，S△ABC∈32，332，则B的取值范围是()A．π4，π3B．π6，π4C．π6，π3D．π3，π211．在△ABC中，三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若(b－c)sinB＝2csinC且a＝10，cosA＝58，则△ABC面积等于()A．392B．39C．313D．312．锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sinA(acosC＋ccosA)＝3b，则cb的取值范围是()A．12，2B．32，233C．(1，2)D．32，1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知在△ABC中，a＋b＝3，A＝π3，B＝π4，则a的值为________．14．在△ABC中，AB＝2，点D在边BC上，BD＝2DC，cos∠DAC＝31010，cosC＝255，则AC＋BC＝________．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝23，C＝45°，1＋tanAtanB＝2cb，则边c的值为________．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c满足2b＝a＋c，B＝π4，则cosA－cosC＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2．(1)求cos∠CBE的值；(2)求AE．18．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosAa＋cosBb＝sinCc．(1)证明：sinAsinB＝sinC；(2)若b2＋c2－a2＝65bc，求tanB．19．(本小题满分12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1km内不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约3km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12km/h的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？20．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2＝λab．(1)若λ＝6，B＝5π6，求sinA；(2)若λ＝4，AB边上的高为3c6，求C．21．(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanA＝3cbc2＋b2－a2．(1)求角A的大小；(2)当a＝3时，求c2＋b2的最大值，并判断此时△ABC的形状．22．(本小题满分12分)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？一、选择题1．答案C解析∵k1＝－sinAa，k2＝bsinB，∴k1k2＝－1，∴两直线垂直．故选C．2．答案D解析因为a－2b＋c＝0，3a＋b－2c＝0，所以c＝73a，b＝53a．a∶b∶c＝3∶5∶7．所以sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7．故选D．3．答案C解析∵S△ABC＝12acsinB＝2，∴c＝42．由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝25，∴b＝5．由正弦定理2R＝bsinB＝52(R为△ABC外接圆的半径)．故选C．4．答案C解析由题意知：cosA·cosB＝sin2C2，∴cosA·cosB＝1－cosC2＝12－12cos[180°－(A＋B)]＝12＋12cos(A＋B)，∴12(cosA·cosB＋sinA·sinB)＝12，∴cos(A－B)＝1．∴A－B＝0，∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．故选C．5．答案A解析①csinBbc，故有两解；②bsinAab，故有两解；③b＝csinB，有一解；④cbsinC，无解．所以有两解的是①②．故选A．6．答案C解析在△ABC中，sinB＝32，0＜B＜π，∴B＝π3或2π3，当B＝π3时，△ABC为直角三角形，∴b＝a·sinB＝32；当B＝2π3时，A＝C＝π6，a＝c＝1．由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos2π3＝3，∴b＝3．故选C．7．答案A解析由题意：sinB＋cosB＝62．两边平方得sin2B＝12，设顶角为A，则A＝180°－2B．∴sinA＝sin(180°－2B)＝sin2B＝12，∴A＝30°或150°．故选A．8．答案D解析由重心性质可知GA→＋GB→＋GC→＝0，故GA→＝－GB→－GC→，代入aGA→＋bGB→＋33cGC→＝0中，即(b－a)GB→＋33c－aGC→＝0，因为GB→，GC→不共线，则b－a＝0，33c－a＝0，即b＝a，c＝3a，故由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝32．因为0A180°，所以A＝30°．故选D．9．答案C解析由题意知∠BAC＝75°，根据正弦定理，得AB＝BCsin45°sin75°＝8(3－1)，因为BD→＝3－12BC→，所以BD＝3－12BC．又BC＝8，所以BD＝4(3－1)．在△ABD中，AD＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos60°＝4(3－3)．故选C．10．答案C解析由题意知ac·cosB＝3，所以ac＝3cosB，S△ABC＝12ac·sinB＝12×3cosB×sinB＝32tanB．因为S△ABC∈32，332，所以tanB∈33，3，所以B∈π6，π3．故选C．11．答案A解析由正弦定理，得(b－c)·b＝2c2，得b2－bc－2c2＝0，得b＝2c或b＝－c(舍)．由a2＝b2＋c2－2bccosA，得c＝2，则b＝4．由cosA＝58知，sinA＝398．S△ABC＝12bcsinA＝12×4×2×398＝392．故选A．12．答案A解析2sinA(acosC＋ccosA)＝3b⇔2sinA·(sinAcosC＋sinCcosA)＝3sinB⇔2sinAsin(A＋C)＝3sinB⇔2sinAsinB＝3sinB⇔sinA＝32，因为△ABC为锐角三角形，所以A＝π3，a2＝b2＋c2－bc，①a2＋c2＞b2，②a2＋b2＞c2，③由①②③可得2b2＞bc，2c2＞bc，所以12＜cb＜2．故选A．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．答案33－32解析由正弦定理，得b＝asinBsinA＝63a．由a＋b＝a＋63a＝3，解得a＝33－32．14．答案3＋5解析∵cos∠DAC＝31010，cosC＝255，∴sin∠DAC＝1010，sinC＝55，∴sin∠ADC＝sin(∠DAC＋∠C)＝1010×255＋31010×55＝22．由正弦定理，得ACsin∠ADC＝DCsin∠DAC，得AC＝5DC．又∵BD＝2DC，∴BC＝3DC．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝5DC2＋9DC2－25DC·3DC·255＝2DC2．由AB＝2，得DC＝1，从而BC＝3，AC＝5．即AC＋BC＝3＋5．15．答案22解析在△ABC中，∵1＋tanAtanB＝1＋sinAcosBcosAsinB＝cosAsinB＋sinAcosBcosAsinB＝sinA＋BcosAsinB＝sinCcosAsinB＝2cb．由正弦定理得cbcosA＝2cb，∴cosA＝12，∴A＝60°．又∵a＝23，C＝45°．由asinA＝csinC得2332＝c22，∴c＝22．16．答案±42解析∵2b＝a＋c，由正弦定理得2sinB＝sinA＋sinC，又∵B＝π4，∴sinA＋sinC＝2，A＋C＝3π4．设cosA－cosC＝x，可得(sinA＋sinC)2＋(cosA－cosC)2＝2＋x2，即sin2A＋2sinAsinC＋sin2C＋cos2A－2cosAcosC＋cos2C＝2－2cos(A＋C)＝2－2cos3π4＝2＋x2．则(cosA－cosC)2＝x2＝－2cos3π4＝2，∴cosA－cosC＝±42．三、解答题17．解(1)∵∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，∴∠CBE＝15°．∴cos∠CBE＝cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24．(2)在△ABE中，AB＝2，由正弦定理，得AEsin45°－15°＝2sin90°＋15°，故AE＝2sin30°sin75°＝2×126＋24＝6－2．18．解(1)证明：由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，可知原式可以化为cosAsinA＋cosBsinB＝sinCsinC＝1，因为A和B为三角形内角，所以sinAsinB≠0，则两边同时乘以sinAsinB，可得sinBcosA＋sinAcosB＝sinAsinB，由和角公式可知，sinBcosA＋sinAcosB＝sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，原式得证．(2)因为b2＋c2－a2＝65bc，根据余弦定理可知，cosA＝b2＋c2－a22bc＝35．因为A为三角形内角，A∈(0，π)，sinA0，则sinA＝1－352＝45，即cosAsinA＝34，由(1)可知cosAsinA＋cosBsinB＝sinCsinC＝1，所以cosBsinB＝1tanB＝14，所以tanB＝4．19．解如右图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C，D两点到考点的距离为1km．在△ABC中，AB＝3≈1．732，AC＝1，∠ABC＝30°，由正弦定理，得sin∠ACB＝ABsin30°AC＝32，∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不符合题意)，∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1．在△A