多元函数积分学复习课

多元函数积分学复习课一、内容提要上页下页铃结束返回首页二、典型例题上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要二重积分的定义•以闭区域D为底曲面zf(xy)为顶的曲顶柱体的体积为(,).DVfxyd•占有闭区域D面密度为(xy)的平面薄片的质量为(,).DMxyd定理连续函数在有界闭区域上的二重积分必定存在iiiniDfdyxf),(lim),(10上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要二重积分的性质性质1设c1、c2为常数则dyxgcdyxfcdyxgcyxfcDDD),(),()],(),([2121性质2如果闭区域D被一条曲线分为两个闭区域D1与D2则dyxfdyxfdyxfDDD21),(),(),(性质3DDdd1(为D的面积)上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要二重积分的性质性质5设M、m分别是f(xy)在闭区域D上的最大值和最小值为D的面积则有MdyxfmD),(性质6(二重积分的中值定理)设函数f(xy)在闭区域D上连续为D的面积则在D上至少存在一点()使得),(),(fdyxfD性质4如果在D上f(xy)g(xy)则有不等式dyxgdyxfDD),(),(上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要dxdyyxfdyxfbaxxD]),([),()()(21•如果D是X型区域:D{(xy)|1(x)y2(x)axb}则化二重积分为二次积分•如果D是Y型区域:D{(xy)|y1(y)xy2(y)cyd}则dcyyDdydxyxfdyxf)()(21]),([),(yy上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要对称性问题设D关于y轴对称.(1)若f(-x,y)-f(x,y),则(,)0.Dfxyd(2)若f(-x,y)f(x,y),则1(,)2(,),DDfxydfxyd其中D1为D在y轴右半部分.xyOab()xxy-()xxy提示:(,)Dfxyd()()(,)yybaxxfxyddxy-1(,)Dfxyd()0(,)xbayfxydxdy上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要利用极坐标计算二重积分•坐标变换公式:cossinxy•面积元素:ddd•如果积分区域可表示为D:1()2()ab则21()()(,)(cos,sin)Dfxydxdydfdba上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要设曲面S:zf(xy)(xy)D,则S的面积为221()()DzzAdxdyxyyzxOD(,)zfxy曲面的面积上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要三重积分的物理意义三重积分的定义iiiinivfdvzyxf),,(lim),,(10设物体占有空间区域,体密度为f(x,y,z),则物体的质量为Vdv三重积分的几何意义的体积为(,,)Mfxyzdv上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页D注：当计算二重积分时用极坐标,则得柱面坐标的计算法.内容提要设积分区域:12(,)(,),(,)zxyzzxyxyD则21(,)(,)(,,)[(,,)]zxyzxyDfxyzdxdydzfxyzdzdxdy求围定顶三重积分计算之投影法上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要设积分区域为{(xyz)|(xy)Dzc1zc2}则zDccdxdyzyxfdzdvzyxf),,(),,(21宜用截面法的题型()gzdxdydz21()zccDgzdzdxdy21()()czcgzDdz三重积分计算之截面法上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要•特殊区域的球面坐标表示•直角坐标与球面坐标的关系xrsincosyrsinsinzrcos•球面坐标系中的体积元素dvr2sindrdd提示:|OP|rsin.利用球面坐标计算三重积分上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要对弧长的曲线积分设光滑曲线弧L的参数方程为xx(t)yy(t)(atb)则有22()()dxdydsdtdtdt22(,)[(),()]()()Ldxdyfxydsfxtyydtdtdtba对坐标的曲线积分设L:xx(t)yy(t),起点和终点对应的参数分别为a和b则有(,)(,)LPxydxQxydy{[(),()]()[(),()]()}PxtyyxtQxtyyytdtba上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页-LDQdyPdxdxdyyPxQ)(设闭区域D由分段光滑的曲线L围成函数P(xy)及Q(xy)在D上具有一阶连续偏导数则有其中L是D的取正向的边界曲线——格林公式格林公式内容提要上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页设P(xy),Q(xy)在单连通区域D内具有连续偏导数则在D内下列条件等价:格林公式的应用内容提要(2)曲线积分(3)存在函数u(x,y),使(1)(,)(,)LPxydxQxydy与路径无关;;PQyx(,)(,).duPxydxQxydy00(,)(,),xyxyuCPdxQdy•函数u(x,y)的计算公式00(,).Cuxy上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页例1比较积分ln()Dxyd与2[ln()]Dxyd的大小,解在D内有3,xye故ln()1,xy于是2ln()[ln()],xyxy因此2ln()[ln()].DDxydxyd典型例题知识点其中D是闭圆域:222(3)2(3)9.xy--xyO33(3,3)D3xy积分区域D在直线xy3的右上方,上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页解积分区域如图示,例2计算1130.1xydxdyy提示:的计算较繁,31ydyy考虑改换积分次序.xyOyx1y1:01,Dy0.xy表示为Y型区域:知识点11301xydxdyy13001yydydxy21301ydyy1301ln(1)3y1ln23上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页例3改换下列二次积分的积分次序.22200(,).xxdxfxydy-解积分区域如图示,表示为Y型区域:22111011(,)yydyfxydx---1:01,Dy22yxx-22(1)1xy-22yxx-211xy--2提示:xyO211xy-211xy--221111yxy---22200(,)xxdxfxydy-知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页例4改换下列二次积分的积分次序.12330010(,)(,).yydyfxydxdyfxydx-解积分区域如图示,分为D1和D2两部分,2302(,)xxdxfxydy-32xy3xy-xyO3211D2D12330010(,)(,)yydyfxydxdyfxydx-知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页2:02,12.Dyxxx-解积分区域如图示,表示为型区域::0,4D1x222xyx22yxx-22cos2提示:xyOsec2cos例5化为极坐标形式的二次积分,其中(,)Dfxyd122yxx-cos1sec2cos(,)Dfxyd2cos40sec(cos,sin)dfd知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页yxO(1,2)2yxx1yx例6化为极坐标形式的二次积分.2110(,)xxxdxfxydy2yxx提示:抛物线yx2x在点(0,0)处的切线方程为.yx2sin(cos)cos(tan1)sec-1yxsincos11(sincos)--解积分区域如图2110(,)xxxdxfxydyarctan2(tan1)sec04(cos,sin)dfd-yx1(sincos)2arctan20(cos,sin)dfd--知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页例7设区域计算2:01,Dyx-解积分区域如图示,222sin.1DxyxIdxdyxy212200(cos)21dd122221DxIdxdyxy21yx-1xyO112220012cos(1)1dd-122212201ln(1)2-(1ln2)4-记D1为D的右半部分,则有D1知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页解1积分区域如图22202yydyydx---Dydxdy220(22)yyydy--220[21(1)]yydy---121(1)(21)uudu---1uy-2121[21](21)uduuu----42-例8设计算2:22,02,Dxyyy---.DydxdyxyO22-22xyy--D知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页记区域xyO22-22xyy--D102204DDydxdydxydy-428sin3d831342224208sin3d1D12sin202sinDydxdyddd例8设计算2:22,02,Dxyyy---.Dydxdy解2积分区域如图21:20,02Dyyxy--11DDDDydxdyydxdyydxdy-42-知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页在xOy面的投影区域D的边界曲线为:解0,1,yxyD:11,x-01yx-的底面:0z的顶面:21zx-:201,zx-(,)xyD(,,)fxyzdv2111100(,,)xxdxdyfxyzdz---例9化为三次积分,其中由以下曲面所围:(,,)fxyzdv21,0,0,1.xzyzxy-1x-xyz21xz-1xyO1xyDOyx111-1x-求围定顶知识点作图上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页在zOx面的投影区域为:解Dzx:01,z11zxz---:01,yx-(,)zxzxD(,,)fxyzdv111010(,,)zxzdzdxfxyzdy----例9化为三次积分,其中由以下曲面所围:(,,)fxyzdv讨论:化为先y再x后z的三次积分.21,0,0,1.xzyzxy-xyz21xz-1xyO知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页思考:化为先x再y后z的三次积分.21,0,0,1.xzyzxy-xyz21xz-1xyO解1提示:的后底:前顶:1xz--1xz-或1xy-22zyy-Ozy21在yOz面