1.1.2弧度制(张奕辉用)

1、任意角的概念正角：射线按逆时针方向旋转形成的角。负角：射线按顺时针方向旋转形成的角。零角：射线不作旋转形成的角。知识回顾⑴置角的顶点于原点；⑵始边重合于X轴的正半轴。2、象限角终边落在第几象限就是第几象限角。3、终边相同的角S=｛｝β|β=a+k·360°,k∈Z弧度的概念思考：在平面几何中，1°的角是怎样定义的？将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角.探究1即：规定把周角的作为1度的角，用度做单位来度量角的制度叫做角度制．3601把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做１弧度的角。用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．弧度制定义：符号：rad读作：弧度。OBA1radl就是1弧度的角。如图:圆O的半径是1，的长等于1,AOBl在弧度制下，1弧度记做1rad.在实际运算中，常常将rad单位省略．2.一般地，我们规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝对值：︱α︱=Lr其中L为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径。这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。r弧AB的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数∠AOB的度数逆时针方向逆时针方向r12r-20180°360°r2逆时针顺时针未旋转顺时针逆时针逆时针20rrr22180°360°57.3°-114.6°-180°0°1、弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；2、1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而1°是圆的所对的圆心角（或该弧）的大小；1360周角的弧度数是2π角度制下的度数是360°∴360°=2πrad；180°=πrad.常规写法①用弧度数表示角时，常常把弧度数写成多少的形式，不必写成小数．②弧度与角度不能混用．注：用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或者“rad”通常省略不写，但如果以度（。）为单位表示角时，度（。）不能省略.角度弧度0601201352704265230特殊角的弧度数6453903243150180233600Ａ．“度”与“弧度”是度量的两种不同的度量单位136012Ｃ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度Ｄ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关下列选项中，错误的是（）DＢ．一度的角是周角的，一弧度的角是周角的巩固练习：【例1】下列命题中，正确的命题是______.①1°的角是周角的，1rad的角是周角的；②1rad的角等于1度的角；③180°的角一定等于πrad的角；④“度”和“弧度”是度量角的两种单位.136012答案:①③④【例2】将下列各角转化为另一种表示形式：【审题指导】解答本题可直接利用进行转化.【规范解答】(1)-300°=(2)813002.5；1801rad1rad()180，5300radrad.180388180()288.55【典例】把角-570°化为2kπ+α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式为______.【审题指导】将-570°化为弧度，再化为2kπ+α的形式；或先将-570°化为k·360°+α的形式，再将度化为弧度.【规范解答】方法一：-570°=∴方法二：-570°=-2×360°+150°，答案:196（570），1801954.6655704.65462.时钟经过1小时，时针转过了()【解析】选B.顺时针方向旋转形成的角为负角α，(A)rad(B)rad66CradDrad121212.1263.已知扇形的面积是，半径是1，则扇形的圆心角是()【解析】选C.设扇形的弧长为l，则故所以扇形的圆心角为3333ABCD168423831182，l34，l3.44.把90°化为弧度是______.【解析】答案:9090.180225.若α是第四象限的角，则π－α是第______象限的角.【解析】∵α是第四象限的角，即2kπ-＜α＜2kπ，∴-2kπ+π＜π－α＜-2kπ+，k∈Z,即π－α是第三象限的角.答案:三2326.在直径为20cm的圆中，求下列各圆心角所对的弧长：【解析】r=10cm.(1)l=α·r=(2)165°=∴l=412165.3（）；44010(cm).3311165radrad18012，115510(cm).1262、67°30′化成弧度。解：oπ136730'=rad67=πrad18028∴´3、把化成度。35πrad解：oo33πrad=180=10855´角度制与弧度制互化时要抓住弧度这个关键．180例2：把化成度．rad5414418054rad54解：12136例1：将弧度转化为角度，角度转化为弧度=°（3）=°（1）=°′；（2）15－1573039087（4）36°=（6）37°30′=（5）－105°=57π-12524π随堂练习1将弧度转化为角度，角度转化为弧度'0302202100120012341038054024001532067例3计算：4sin4542245sin4sin解：∵∴锐角：{θ|0°＜θ＜90°}钝角：{θ|90°＜θ＜180°}周角：{θ|θ=360°}2请用弧度制表示下列范围.终边在x轴上的角的集合终边在y轴上的角的集合},{zkk},2{zkk随堂练习＜例2用弧度制表示弧长及扇形面积公式：弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积.①rl②lRS21证明：由公式：rlrl①其中l是扇形弧长，R是圆的半径。弧长公式弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．rlrl②设扇形所对的圆心角为nº(αrad)的扇形的弧长和面积公式分别是2213602nSRR又αR=l，所以lRS21180Rnl3602RnS180n将nº转化为弧度：于是弧度制简单明了随堂练习3直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长⑴⑵4π3o1654已知一个扇形的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。3直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长⑴⑵4π3o165解：r=10cm（）´4π40π1l=α×r=10=(cm)33（）´oπ11π2165=165(rad)=rad18012所以´11π55πl=10=(cm)126随堂练习4已知一个扇形的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。lRR==a∵弧长36,2RR==∴()21S==2cm2Rl于是解：设扇形的半径为R，弧长为l随堂练习－300°化为弧度是（）1、Ｂ4π-3Ｂ．Ｄ．Ａ.Ｃ．5π-37π-47π-62.半径为cm，中心角为120o的弧长为（）.A．πcm3B．2πcm3C．2πcm3D．22πcm3Ｄ3.将下列弧度转化为角度：（1）12=°；（2）－78=°′；（3）136=°；4.将下列角度转化为弧度：（1）36°=（rad）；（2）－105°=（rad）；（3）37°30′=（rad）；5.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是．5．15-1573039037125244、已知扇形AOB的圆心角为120°，半径为6，求此扇形所含弓形面积。o2πα=120=,r=63解：由ΔΑΟΒS=S-S=12π-93弓形扇形∴【例3】(2011·盱眙高一检测)已知一扇形的周长为8cm，当它的半径和圆心角取什么值时，扇形的面积最大？并求出最大面积.【审题指导】先用r表示半径，再依据建立扇形面积S与半径r之间的函数关系，利用二次函数求最大值.1Sr2l【规范解答】设扇形的半径为r，弧长为l，则2r+l=8，l=8-2r，=-r2+4r=-(r-2)2+4(0＜r＜4)当r=2时，Smax=4cm2，此时l=4cm,α=2.所以当半径长为2cm，圆心角为2rad时，扇形的面积最大为4cm2.11Srr(82r)22l例2(1)已知扇形的圆心角为72°，半径等20cm，求扇形的弧长和面积；(2)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形的圆心角的弧度数.解：(1)27252208()5lRcm21182080()22SlRcm(2)210142RllR1482RRll或182lR或注意：三个公式①l=|a|·R；②S=－lR；③S=－|a|R2中包含4个未知数，可知二求二．(注意公式中的α必须为弧度制！！！)1212练习：已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R.所以扇形的中心角是2(π－1)rad.合()º360(1)扇形面积是2(1)R练习：在半径为R的圆中，240º的中心角所对的弧长为，面积为2R2的扇形的中心角等于弧度。解：（1）240º=，根据l=αR，得4343lR（2）根据S=lR=αR2，且S=2R2.2121所以α=4.43R4练习：与角－1825º的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。解：－1825º=－5×360º－25º，所以与角－1825º的终边相同，且绝对值最小的角是－25º.合536－25º536弧度制角度制度量单位弧度角度单位规定等于半径的长的圆弧所对应的圆心角叫1的角周角的为1度的角换算关系rad3601π=180°1rad=30.5718057°18′，1°=π180rad=0.01745rad课堂小结