四.辅助变量法(IV)

四.辅助变量法(IV)广义LS算法过于复杂，因此寻求简便一些的一致无偏估计算法很有实用价值。辅助变量法与扩充（增广）最小二乘法便是这样的算法。辅助变量法记为IV（InstrumentalVariable）其基本特点是在算法中引入了一个辅助变量，这个辅助变量与方程误差不相关而与观测数据相关。设被辨识系统用广义回归模型描述：其向量形式为：————①11()()()()()AqykBqukkYX•式中若有一矩阵，它的维数与X相同（为N*2n维）且满足——————②——————③式中Ω为非奇异阵。用ΩT左乘式①有——————④(1)(1)(1),,()()()TTynnnynNnNnNxYεXx)()1(NnnTTΩ01}{limεTNTNPEΓXXTNTNPE1}{limTTTYXθε于是得：———⑤取上式等号右边第一项作为θ的估计量，记为———⑥式中，Ω称为辅助变量矩阵，Ω中的元素称为辅助变量。式⑥在形式上与一般最小二乘估计公式相似，但它在{ε(k)}为有色噪声情况下是参数的一致无偏估计量。这是因为式⑤有———⑦11()()TTTTθXYXεYXθT1T)(ˆIV1ˆ()TTIVX利用滤波法的出发点是：如果辅助模型是未受噪声ξ(k)干扰的原系统模型，那么辅助模型的输出就是v(k),且满足：显然，由{v(k)}，{u(k)}构成的下列辅助矩阵必与方程误差ε无关而与X相关，因此②，③式必满足。11()()()()BqvkukAq(1)()(1)()(1)()(1)()(1)()TTnvnvununNvnNvNunNuN但被辨对象的理想输出yu(k)得不到，因此只能利用被辨系统的一个拟合模型代替，并利用这个辅助模型的输出来代替v(k)。显然，辅助模型的输出应为而辅助变量矩阵相应为可以证明Ω一定满足②式，然而③式却难以得到保证。但是当{u(k)}为持续激励信号且与ξ(k)无关时，两个条件均满足，因而用这种Ω所得是一致无偏的。11ˆˆ()/()BqAq11()/()BqAq)()(ˆ)(ˆ)(ˆ11kuqAqBkvˆˆ(1)()(1)()(1)ˆˆ()(1)()(1)()TTnvnvununNvnNvNunNuNˆIV利用类似于RLS的推导方法，可得到递推辅助变量算法RIV如下：式中1ˆˆˆ(1)()(1)[(1)(1)()](1)(1)(1)[1(1)()(1)](1)((1)(1)]()TIVIVIVTTNNNyNNNNNNNNNNNNNKxKPxPPIKxP1ˆˆ(1)[(),,(1),(),,(1)](1)[(),,(1),(),,(1)]()[()()]ˆˆ(1)()()TTTTIVNvNvNnuNuNnNyNyNnuNuNnNNNvNNNxPX递推的初值可取；亦可先采用一般RLS算法，经过l步后转为RIV，而由前l步RLS算得的，便是RIV的初值。构成辅助变量的方法，还有n步滞后输入法，n步滞后输出法等：这时，辅助矩阵Z的第i行向量为对应于(a)图对应于(b)图2ˆˆ(0)0,(0),(0)0IVVPIˆ(),()LSllPˆ(0),(0)LSP()[(1),,(),(),,()]Tabivivinuiduidn10ˆˆˆˆ()(1)()()()abnanbvkavkavknbukdbukdn)()(ankukv