第三章-动力学方程的三种基本形式

第三章动力学方程的三种基本形式东北大学理学院应用力学研究所李永强应用力学研究所李永强第2页第三章动力学方程的三种基本形式§3.1虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程§3.2虚功率形式的动力学方程§3.3高斯形式的动力学方程应用力学研究所李永强第3页§3.1虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程本方程为虚功原理与达朗伯原理的结合质点系由n个质点组成，各质点的质量用mi(i=1,2,…,n)表示，作用于第i个质点上的主动力、约束力用、表示，在任意瞬时，第i个质点的加速度为。iFiNia在此质点上虚加一惯性力giiiFma0iigiFNF对质点系:0iigiFNF如果此质点系是理想约束0iN应用虚位移原理，则有()0FigiiAFFr或()0FiiiiAFmar虚功形式的动力学方程，简称动力学普遍方程（达朗伯－拉格朗日方程）在具有理想约束的质点系中，在任意瞬时和位形上，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作的元功之和等于零。由达朗伯原理可得：应用力学研究所李永强第4页§3.1虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程动力学普通方程的投影形式：10niiiiiiiiiiiiiXmxxYmyyZmzz如果统一编号310nrrrrrXmxx注意:1.对于非理想约束力可作为主动力处置2.方程中不出现约束反力应用力学研究所李永强第5页§3.1虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程例3-1已知：行星轮系，在平面内运动。三个轮均为均质圆盘，质量均为m1，半径为r，曲柄为均质杆，质量为m2，长为4r；各轮在接触点只滚不滑。在轮心轴承O1、O2、O3处摩擦力矩均为M1。在曲柄上作用一常力偶矩M2。求：曲柄的角加速度3O1O2OⅠⅢⅡ2M解：3O1O2OⅠⅢⅡ232Ov3OvDvCD（1）运动分析取为广义坐标，，左正右负，1Ⅱ轮：22Ovr212112OvOOr得：212Ⅲ轮：313114OvOOr22124DvCDrr所以30应用力学研究所李永强第6页§3.1虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程3O1O2OⅢ2M1M12M12M12gM1gM13M2xgR3xgR（2）受力分析M2为主动力矩M1各摩擦力矩，均按主动力矩处理轴承O1：M1'右转轴承O2：为左转，O1O3也为左转，221221rM2'右转轴承O3：301左转，故M13'右转13131MMM331r左转（3）加惯性力左转，左转，121230曲柄O1O3：简化中心为O112221222gORmamrmr（作用在O1）2212221222nngORmamrmr（作用在O1）122122116(4)33gOOMJmrmr右转由于应用力学研究所李永强第7页§3.1虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程Ⅱ轮：简化中心O2平面运动21212gORmarm221212nngORmarm22222121112gOMJmrmrⅢ轮：简化中心O331314gORmarm231314nngORmamr30gM（4）虚位移，虚功，虚功方程给定虚位移，其方向与即方向相同112122为计算虚功，可将系统上的力集中到某几个刚体上，如集中到O1O3曲柄上。应用力学研究所李永强第8页§3.1虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程集中后曲柄上的力为：常力偶矩M2，轮O1、O2、O3对它的摩擦力矩为M1、M2、M311221121323212116()24(20)3OgggmFMMMMRrRrMMMmmr121212116,203FOgAmFFMMmmr轮Ⅱ：2221211,OggmFFMMMmr222211(,)2FOgAmFFMmr2122333(,)0FOgAmFF30所以32212321211111620203FFFFAAAAMMmmrMmr21221332833MMmmr杆O1O3：轮Ⅲ：应用力学研究所李永强第9页§3.2虚功率形式的动力学方程虚功率形式的动力学方程用动量和冲量表示的动力学方程应用力学研究所李永强第10页§3.2虚功率形式的动力学方程虚功率形式的动力学方程条件：除3.1条件外，还增加条件：内有d个完整约束，g个非完整约束对于第i个质点0iigiFNF在此瞬时，相应的位形上给第i个质点虚速度，第i个质点的虚功率ir()0iiigiiPFNFr对于系统可得：1()0niiigiiiPFNFr如果此质点系是理想约束，则0iiNr应用力学研究所李永强第11页§3.2虚功率形式的动力学方程虚功率形式的动力学方程理想约束下质点系的虚功率方程为：11()0nniiiiiiiPFmar具有理想约束的质点系，在任意瞬时和位形上，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚速度上所做的元功率之和等于零。虚功率形式的动力学方程(若丹原理)上式中：iiiiFXiYjZkiiirxiyjzk其在直角坐标中的投影形式为：10niiiiiiiiiiXmxxYmyyZmzz应用力学研究所李永强第12页§3.2虚功率形式的动力学方程虚功率形式的动力学方程例3-2已知：常力矩M，均质圆轮C做纯滚动，质量为m，半径为R。绞车半径为r，质量为mO，回转半径ρ。斜面倾角θ，绳质量、轴承摩擦不计求：aCCvCMOCmg解：单自由度系统，取绞车转角为广义坐标1）运动分析、虚速度分析CvCMOCmgCgCMgCRgOM绞车cvrCarCCvrRRCCarRR虚速度：CvrCrR应用力学研究所李永强第13页§3.2虚功率形式的动力学方程虚功率形式的动力学方程2）受力分析常力矩M，轮的重力mg，绞车重力mOgCvCMOCmgCgCMgCRgOM3）惯性力分析圆轮：0gOR2gOOOMJm绞车：gCCRmamr21122gCCCrMJmRmRrR4）建立虚功率方程圆轮：2OOOPMm绞车：2sin--sin1.5CgCCgCCPmgRvMmgrmr虚功率方程：0OCPP22-sin1.50OOMmmgrmr22sin1.5OMmgrmmr22sin1.5COrMmgrarmmr应用力学研究所李永强第14页§3.2虚功率形式的动力学方程用动量和冲量表示的动力学方程一般情形定点转动平面运动的情形应用力学研究所李永强第15页§3.2虚功率形式的动力学方程用动量和冲量表示的动力学方程__一般情形对功率形式的动力学方程进行变化，由110nniiiiiiiPFmar将其括号部分提取出来，进行变换dddddiittttuiiiiiiiiiiiiitttvtFmatFtmatFtmvSmuv其中dtiitSFt作用在第i个质点上的主动碰撞力的冲量将用表示，则功率形式的动力学方程可变为iriu10niiiiiiSmuvu动量、冲量表述的动力学方程其中：碰撞结束时的速度;iu碰撞开始时的速度iv应用力学研究所李永强第16页§3.2虚功率形式的动力学方程用动量和冲量表示的动力学方程__一般情形10niiiiiiSmuvu动量、冲量表述的动力学方程说明：1.非碰撞力不计2.碰撞过程质点位移不计，但虚速度为有限值iu3.约束方程：10niiir其中12,,,,iikqqqttt：τ很短，认为t凝固，位移的变化不计，故为常量i应用力学研究所李永强第17页§3.2虚功率形式的动力学方程用动量和冲量表示的动力学方程__定点转动某质点系绕固定点O转动，虚速度与虚角速度有如下关系iriirr功率方程改写为10niiiiiFmar预备知识（混合积）abcbcacabiiiiiiiiFmarrFma因为iiOirFmFddddOiiiiiiiLrmarmvtt所以1d0dnOiOiiLmFt应用力学研究所李永强第18页§3.2虚功率形式的动力学方程用动量和冲量表示的动力学方程__定点转动同一般情况处理一样，可得：dtOiOitmSmFtdddtOiOiOitLtLlt则10nOiOiOiimSLl动量矩、冲量矩表述的动力学方程（对固定点O）其中：为碰撞后第i个质点对定点O的动量矩，为碰撞前第i个质点对定点O的动量矩OiLOil如果质点系是相对于其质心C的转动，同样可得其动力学方程为:10nCiCiCiimSLl,的意义同前；意义同前。CiLCilCimS应用力学研究所李永强第19页§3.2虚功率形式的动力学方程用动量和冲量表示的动力学方程__定点转动如果质点系是绕定轴转动的刚体系或绕通过各自质心某轴转动的刚体，动力学方程可变成：10nziziiimSJ绕定轴转动刚体的动量矩、冲量矩的动力学方程10nCziCziiiimSJ绕过质心轴转动刚体的动量矩、冲量矩的动力学方程其中：Jz,JCz为第i个刚体绕z轴或绕过质心的z轴的转动惯量；ω'i为第i个刚体碰后绕轴转动的角速度；ωi为第i个刚体碰前绕轴转动的角速度。应用力学研究所李永强第20页§3.2虚功率形式的动力学方程用动量和冲量表示的动力学方程__平面运动的情形设某刚体系作平面运动，可将110nniiiiiiiPFmar分成两部分来化简，即一部分为刚体随各自的质心Ci的平动，另一部分为各刚体相对其质心Ci的转动，其结果为110nniiCiCiCiCziCziiiiiSmuvumSJ平面运动刚体的动量矩、冲量矩的动力学方程应用力学研究所李永强第21页§3.2虚功率形式的动力学方程例3-3质量为m、边长为b的正方形以速度v1平移下落，其角A与突缘B相撞，假设角A与突缘B之间的碰撞为完全弹性碰撞，求此方块碰撞后的角速度和质心C的速度。ACxbB1vmg碰前ACxyxSySAyvAxvCxvCyv1v0碰后xCxSxxSySAyuAxuCyuCxuAyuAxuCxuCyuACvA解：1选广义坐标：xC,yC,φ2应用恢复系数计算方块A碰撞后的速度碰前：0Axv1Ayvv0Bxv0Byv碰后：0Bxu0Byu由恢复系数公式1BxAxxAxBxuukvv1ByAyyAyByuukvv解得：0Axu1Ayvv（向上）应用力学研究所李永强第22页§3.2虚功率形式的动力学方程3运动分析分析质心C的速度及绕C转动的角速度ω碰前（正方块作平行移动）：vCx=0，vCy=-v1