基于Copula-GARCH-VaR模型的投资组合风险测度

1基于Copula-GARCH-VaR模型的投资组合风险测度赵崇新1摘要：针对传统风险测度模型的不足，本文提出了Copula-GARCH-VaR模型。其中，Copula是连接函数，用于描述投资组合中金融资产之间的相依结构；GARCH是广义自回归条件异方差模型，用于描述投资组合中金融资产的边际分布；VaR是风险测度的指标，用于描述投资组合的波动性风险的大小。在实证研究中，以上证指数与深成指构成的投资组合为研究对象，通过比较Copula-GARCH-VaR模型与均值方差模型，以检验模型的精确性。关键词：Copula；GARCH；VaR；风险测度PortfolioRiskMeasurementBasedontheCopula-GARCH-VaRModelAbstract:Aimingatthedisadvantageoftradictionalriskmeasurementmodels,thispaperproposesaCopula-GARCH-VaRmodel.Therein,Copulaisajointfunction,whichisusedtodescribethedependencestructurebetweenfinancialassetsinaportfolio;GARCHisaGeneralizedAutoregressiveConditionalHeteroskedasticityModel,whichisusedtodescribethemarginaldistributionsoffinancialassetsinaportfolio;VaRisanindexofriskmeasurement,whichisusedtodescribethesizeofvolatilityriskofaportfolio.Intheempiricalstudy,wetakestheportfoliocomposedofShanghaiCompositeIndexandShenzhenComponentIndexasanobjectofstudy,andcomparetheCopula-GARCH-VaRmodelwiththeVariance-Covariance-VaRmodel,soastotesttheprecisionoftheformer.Keywords:Copula;GARCH;VaR;riskmeasurement引言传统风险测度模型，在单个金融时间序列的情形下，常常假设变量服从正态分布；在多个金融时间序列的情形下，还常常假设变量之间是线性相关的。但是，金融时间序列是比较复杂的，一般表现为尖峰厚尾、异方差、尾部相依等特性。随着计算机技术的不断发展，人们对风险测度模型的精度要求越来越高。因此，本文选用主流的VaR作为风险测度的指标，用GARCH模型捕捉金融时间序列的尖峰厚尾、异方差特性，用Copula函数捕捉金融时间序列间的尾部相依特性。此外，在运用Copula函数计算投资组合的VaR时，VaR的解析式一般不容易求出，常常利用MonteCarlo模拟法来计算VaR[1]。下面重点介绍GARCH模型的检验，Copula函数理论和Copula-GARCH-MonteCarlo模拟的步骤。1.GARCH模型的检验GARCH模型的本质是滤波，其作用是去除时间序列条件异方差效应，本文的实证研究结合对收盘价时间序列进行对数差分预处理的作用是使其平稳化和去除其自相关性。因此GARCH模型的检验，包括事前检验和事后检验[2]。事前检验针对的是原时间序列，事后检验针对的是残差时间序列。无论是事前检验还是事后检验，都要进行①正态性检验；②平稳性检验；③自相关检验；④条件异方差（ARCH效应）检验。作者简介：1赵崇新（1984－），男，广东江门人，五邑大学管理科学与工程硕士研究生，研究方向为金融工程，E-mail：[e-mail]函数理论2.1Copula函数的定义Copula源于“coupling”，Copula函数由Sklar于1959年首次引入并应用于统计学[3]，是一种连接多维变量的联合分布与它们各自的一维边缘分布的函数，同时也可以描述随机变量之间的相依结构，又称为连接函数或相依函数[4]。Copula函数的本质是一个边缘分布到联合分布的映射，具体定义如下：若一个多元函数(,,)C满足以下条件，则它是一个n元Copula函数：（1）定义域：I[0,1]nn；（2）(,,)C有零基面（又称着地grounded）且是n维递增的；（3）(,,)C的边缘分布iC(⋅)满足：()(1,,1,,1,,1)iiiiCuCuu。其中iu[0,1]，i=1,2,⋅⋅⋅,n。根据上述定义，若1F(⋅),2F(⋅),⋅⋅⋅,nF(⋅)是连续的一元分布函数，令()iiiuFx，则121122(,,,)((),(),,())nnnCuuuCFxFxFx是一个边缘分布都服从均匀分布的多元分布函数[5]。2.2常用Copula函数Copula函数，从分布函数的类型可以分为椭圆Copula（EllipticCopula）函数和阿基米德Copula（ArchimedeanCopula）函数。椭圆Copula函数可分为正态Copula函数(又称GaussianCopula函数)和t-Copula函数(又称StudentCopula函数)。阿基米德Copula函数可分为GumbelCopula函数，ClaytonCopula函数和FrankCopula函数。具体定义如下：GaussianCopula：1111212(,,,)((),(),,())2.1NNCuuuuuu；（）其中，[1,1]，()为多元正态分布；1()为标准正态分布的逆函数；tCopula：11112,12(,,,,)((),(),,())NNCuuuttututu；（2.2）其中，[1,1]，,()t为多元t分布，1()t为t分布的逆函数；GumbelCopula：1121(,,,)exp([(ln)])nNniCuuuu；（2.3）其中，(0,1]；ClaytonCopula：1121(,,,)(1)NNnnCuuuun；（2.4）3其中，(0,)；FrankCopula：11121(1)1(,,,)ln(1)(1)nNunNNeCuuue；（2.5）其中，0，3n时，(0,)。表2-1列出了五种Copula函数的图像，特点及其适用范围，以作比较：表2-1五种Copula函数的图像，特点及其适用范围[6]GaussiantGumbelClaytonFrank二元密度函数图U形准U形J形L形V形特点①直接由多维正态分布衍生出来，易计算；②对称分布；③不具有厚尾特征。①直接由多维t分布衍生出来，易计算；②对称分布；③具有厚尾特征。①非对称分布；②具有较厚的上尾部。①非对称分布；②具有较厚的下尾部。①对称分布；②具有较大的方差，上下尾部都比较厚。适用范围适合刻画对称相依性、不具有厚尾特征的多维风险因子。适合刻画对称相依性、一定厚尾特征的多维风险因子。适合刻画不对称相依性、具有较强下厚尾特征的多维风险因子,例如牛市股票市场间相关性增强的情形。适合刻画不对称相依性、具有较强上厚尾特征的多维风险因子,例如熊市股票市场间相关性增强的情形。适合刻画对称相依性、在中心和上下尾部分布较均匀的多维风险因子。2.3Copula模型的构建方法引入Copula函数的模型称为Copula模型，可用两阶段法构建：第一步：确定边缘分布；第二步：选择一个适当的Copula函数。2.4概率积分变换概率积分变换的定义：若变量x的累积分布函数为()Fx，()Fx连续，令()uFx，无论x服从什么分布，则u都服从[0，1]均匀分布[5]。正是概率积分变换的引入，使Copula函数具有不限制边缘分布的形式的优良特性，从而大大扩展Copula函数的应用范围。因为Copula函数的自变量要求服从[0，1]均匀分布，所以在确定边缘分布后，需要把4各变量时间序列转换成[0，1]均匀分布时间序列。研究变量时间序列间的相关性，可以简化为研究变量残差时间序列间的相关性[7]，因此，可以将各变量边缘分布的时间序列或残差时间序列进行概率积分变换，变换后得到的序列即为Copula函数所要拟合的序列。2.5Copula模型的参数估计当选择了Copula函数后（选择Copula函数的过程其实是一个对Copula函数的类型作出假设的过程），就要对Copula模型的参数进行估计。Copula模型的参数估计方法，按估计的步骤数[8]，可以分为：一步法和两步法（又称两阶段估计法）；按是否对边缘分布作出假设，可以分为：参数法和半参数法，其中参数法指对边缘分布作出假设的参数估计方法，包括极大似然估计法和矩估计法；半参数法指对边缘分布不作出假设的参数估计方法。常用的Copula模型的参数估计方法包括精确极大似然法（EML：ExactMaximumLikelihoodmethod），边缘分布推导法（IFM：InferenceFunctionsforMarginsmethod），规范极大似然法（CML：CanonicalMaximumLikelihoodmethod），基于核密度的极大似然法（MLK：MaximumLikelihoodbasedonKerneldensitymethod），GenestandRivest法[9~13]。本文的实证研究的Copula模型的参数估计使用MLK法。2.6Copula模型的检验Copula函数部分的拟合度评价：由于Copula函数本身是一个分布函数，可以通过比较选择的Copula函数与经验Copula函数的距离（欧氏距离或切比雪夫距离）的大小，来评价Copula函数的拟合度。本文的实证研究采用K-S检验。Copula模型的检验可分为两部分：边缘分布模型的检验和Copula函数部分的检验[5]。检验方法包括信息评价准则[14]和拟合优度（GoodnessofFit）检验，其中信息评价准则指包括AIC（AkaikeInformationCriterion，赤池信息准则），BIC（BayesianInformationCriterion，贝叶斯信息准则，又称SC：SchwarzCriterion，施瓦兹准则），DIC（DevianceInformationCriterion，偏差信息准则）；拟合优度检验又包括（1）K-S检验和Q-Q图，（2）2检验，（3）“Hit”检验。边缘分布模型的检验：本文的实证研究的边缘分布模型的检验使用信息评价准则（AIC或BIC），以评价边缘分布模型的优劣。Copula函数的检验：本文的实证研究的Copula函数部分的检验使用K-S检验。可以先比较K-S统计量是否小于临界值（可以通过查表得出），以判定Copula函数是否通过检验，后比较不同Copula函数的K-S统计量的大小，以评价Copula函数的拟合优度。这里，Copula函数的检验可以使用K-S检验是因为Copula函数本身是一个分布函数，而K-S检验的理论累积分布函数为经验Copula函数。3.Copula-GARCH-MonteCarlo模拟的步骤Copula-GARCH-MonteCarlo模拟可以利用MatLab或R软件实现，下面给出利用MatLabR2010b计算由多个资产构成的投资组合的收益率的VaR的步骤[15]：①生成i（i为资产数目）个独立的服从[0，1]均匀分布的随机数iu，并设定模拟路径N（调用copularnd函数，本文设定5000N）；②确定GARCH模型的残差分布类型()iF及其参数，根据()iiisIC