离散数学(左孝凌)课后习题解答(详细)

Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse羀离散数学~螁习题1.1肈1.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。蚃⑴中国有四大发明。莃⑵计算机有空吗?膀⑶不存在最大素数。袈⑷21+3＜5。螄⑸老王是山东人或河北人。蒁⑹2与3都是偶数。薀⑺小李在宿舍里。蕿⑻这朵玫瑰花多美丽呀!螆⑼请勿随地吐痰!螃⑽圆的面积等于半径的平方乘以。聿⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。荿⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。薃⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。羂解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。蒈2.将下列复合命题分成若干原子命题。袅⑴李辛与李末是兄弟。蚅⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。肀⑶天正在下雨或湿度很高。袈⑷刘英与李进上山。薆⑸王强与刘威都学过法语。蚆⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。莂⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。薁⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。芆解：⑴本命题为原子命题；蒃⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；薁⑶p：天在下雨；q：湿度很高；羀⑷p：刘英上山；q：李进上山；肆⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；薅⑹p：你看电影；q：我看电影；袃⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；蒀⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。螇3.将下列命题符号化。蚆⑴他一面吃饭，一面听音乐。羂⑵3是素数或2是素数。衿⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。薇⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。莃⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。莄⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。艿⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。芈解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q蒅⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q蒂⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：p→q蚈⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q肈⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p薆⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。薁⑺p：a是偶数；q：b是偶数；r：a+b是偶数；原命题符号化为：p∧q→r莁4.将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。螈⑴如果3+3=6，则雪是白的。莄⑵如果3+3≠6，则雪是白的。羃⑶如果3+3=6，则雪不是白的。袁⑷如果3+3≠6，则雪不是白的。葿⑸3是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。莅⑹2+3=5的充要条件是3是无理数。(假定是10进制)肁⑺若两圆O1，O2的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。芀⑻当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。羅解：设p：3＋3＝6。q：雪是白的。蒆⑴原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。蒄⑵原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。虿⑶原命题符号化为：p→q；该命题是假命题。螅⑷原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。芄⑸p：3是无理数；q：加拿大位于亚洲；原命题符号化为：p↔q；该命题是假命题。薂⑹p：2+3＝5；q：3是无理数；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。聿⑺p：两圆O1,O2的面积相等；q：两圆O1,O2的半径相等；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。蒆⑻p：王小红心情愉快；q：王小红唱歌；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。芅习题1.2蚀1.判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。薈⑴(p∧q→r)芆⑵(p∧(q→r)莆⑶((p→q)↔(r∨s))肃⑷(p∧q→rs)羈⑸((p→(q→r))→((q→p)↔q∨r))。羇解：⑴⑶⑸是合式公式；⑵⑷不是合式公式。膄2.设p：天下雪。膁q：我将进城。蚁r：我有时间。蚇将下列命题符号化。膅⑴天没有下雪，我也没有进城。薄⑵如果我有时间，我将进城。肀⑶如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。蒇解：⑴p∧q羃⑵r→q蚂⑶p∧r→q蒀3.设p、q、r所表示的命题与上题相同，试把下列公式译成自然语言。膈⑴r∧q肄⑵¬(r∨q)螀⑶q↔(r∧¬p)罿⑷(q→r)∧(r→q)羈解：⑴我有时间并且我将进城。膅⑵我没有时间并且我也没有进城。膃⑶我进城，当且仅当我有时间并且天不下雪。莈⑷如果我有时间，那么我将进城，反之亦然。蚈4.试把原子命题表示为p、q、r等，将下列命题符号化。羃⑴或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。芁⑵如果张三和李四都不去，他就去。螈⑶我们不能既划船又跑步。葿⑷如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。羄解：⑴p：你给我写信；q：信在途中丢失；原命题符号化为：(p∧q)∨(p∧q)。蚄⑵p：张三去；q：李四去；r：他去；原命题符号化为：p∧q→r。蒁⑶p：我们划船；q：我们跑步；原命题符号化为：（p∧q）。袅⑷p：你来了；q：他唱歌；r：你伴奏；原命题符号化为：p→（q↔r）。肅5.用符号形式写出下列命题。螂⑴假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。羁⑵我今天进城，除非下雨。蚆⑶仅当你走，我将留下。袃解：⑴p：上午下雨；q：我去看电影；r：我在家读书；s：我在家看报；原命题符号化为：（p→q）∧（p→r∨s）。袀⑵p：我今天进城；q：天下雨；原命题符号化为：q→p。莀⑶p：你走；q：我留下；原命题符号化为：q→p。莆习题1.3袄1.设A、B、C是任意命题公式，证明：芃⑴AA蝿⑵若AB，则BA膆⑶若AB，BC，则AC羆证明：⑴由双条件的定义可知A↔A是一个永真式，由等价式的定义可知AA成立。莁⑵因为AB，由等价的定义可知A↔B是一个永真式，再由双条件的定义可知B↔A也是一个永真式，所以，BA成立。腿⑶对A、B、C的任一赋值，因为AB，则A↔B是永真式，即A与B具有相同的真值，又因为BC，则B↔C是永真式，即B与C也具有相同的真值，所以A与C也具有相同的真值；即AC成立。袇2.设A、B、C是任意命题公式，螃⑴若A∨CB∨C,AB一定成立吗？螃⑵若A∧CB∧C,AB一定成立吗？蚈⑶若¬A¬B，AB一定成立吗？蚇解：⑴不一定有AB。若A为真，B为假，C为真，则A∨CB∨C成立，但AB不成立。螄⑵不一定有AB。若A为真，B为假，C为假，则A∧CB∧C成立，但AB不成立。袂⑶一定有AB。莂3.构造下列命题公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。莇⑴q∧(p→q)→p袆⑵p→(q∨r)羀⑶(p∨q)↔(q∨p)螁⑷(p∧q)∨(r∧q)→r肈⑸((¬p→(p∧¬q))→r)∨(q∧¬r)蚃解：⑴q∧(p→q)→p的真值表如表1.24所示。莃表1.24膀p袈q螄p→q蒁q∧(p→q)薀q∧(p→q)→p蕿0螆0螃1聿0荿1薃0羂1蒈1袅1蚅0肀1袈0薆0蚆0莂1薁1芆1蒃1薁1羀1肆使得公式q∧(p→q)→p成真的赋值是：00，10，11，使得公式q∧(p→q)→p成假的赋值是：01。薅⑵p→(q∨r)的真值表如表1.25所示。袃表1.25蒀p螇q蚆r羂q∨r衿p→(q∨r)薇0莃0莄0艿0芈1蒅0蒂0蚈1肈1薆1薁0莁1螈0莄1羃1袁0葿1莅1肁1芀1羅1蒆0蒄0虿0螅0芄1薂0聿1蒆1芅1蚀1薈1芆0莆1肃1羈1羇1膄1膁1蚁1蚇使得公式p→(q∨r)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式p→(q∨r)成假的赋值是：100。膅⑶(p∨q)↔(q∨p)的真值表如表1.26所示。薄表1.26肀p蒇q羃p∨q蚂q∨p蒀(p∨q)↔(q∨p)膈0肄0螀0罿0羈1膅0膃1莈1蚈1羃1芁1螈0葿1羄1蚄1蒁1袅1肅1螂1羁1蚆所有的赋值均使得公式(p∨q)↔(q∨p)成真，即(p∨q)↔(q∨p)是一个永真式。袃⑷(p∧q)∨(r∧q)→r的真值表如表1.27所示。袀表1.27莀p莆q袄r芃q蝿p∧q膆r∧q羆(p∧q)∨(r∧q)莁(p∧q)∨(r∧q)→r腿0袇0螃0螃1蚈0蚇0螄0袂1莂0莇0袆1羀1螁0肈0蚃0莃1膀0袈1螄0蒁0薀0蕿0螆0螃1聿0荿1薃1羂0蒈0袅1蚅1肀1袈1薆0蚆0莂1薁1芆0蒃1薁0羀1肆0薅1袃1蒀1螇0蚆1羂1衿1薇1莃0莄0艿0芈0蒅0蒂1蚈1肈1薆1薁0莁0螈1莄1芄1膁使得公式(p∧q)∨(r∧q)→r成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式(p∧q)∨(r∧q)→r成假的赋值是：100。衿⑸((p→(p∧q))→r)∨(q∧r)的真值表如表1.28所示。芁使得公式((p→(p∧q))→r)∨(q∧r)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式((p→(p∧q))→r)∨(q∧r)成假的赋值是：100。肁4.用真值表证明下列等价式：蒈⑴(p→q)p∧q羄证明：证明(p→q)p∧q的真值表如表1.29所示。蚃表1.29蒁p腿q肅p→q螁(p→q)羀q罿p∧q肆0膄0荿1虿0袄1节0蚅表1.28莂p薁q芆r螇p∧q螄p→(p∧q)羀(p→(p∧q))→r肆q∧r薄((p→(p∧q))→r)∨(q∧r)袃0葿0螆0蚆0羁0衿1薇0蚇1莃0芈0芇1蒄0蒂0羁1肇0薆1袄0莁1螈0莃0羃0袀1薈1莄1肁0芀1艿1蒆0蒃0虿1罿0芃1薂1膈0蝿0芅1羄1螂0芆0莆0肂1芁0羆1膃1膁1蚀1蚆0芅1薃1肀1蒇0芆0蚁1蕿0膇1肃1肄1罿1羈1膅0膂1蚂1蚈0膆1蝿0膆1羅1莀0膈0袆0肆1螃0袂0蚇1袄1袁1莁1莇1袅1芄0螀0肇0羇由上表可见：(p→q)和p∧q的真值表完全相同，所以(p→q)p∧q。莂⑵p→qq→p膀证明：证明p→qq→p的真值表如表1.30所示。袈表1.30螄p蚄q蕿p→q薈p螅q螃q→p肈0莈0袇1羁1螂1聿1蚄0芄1膁1衿1蚅0莂1薁1芆0螇0螄0羀1肆0薄1袃1葿1螆0蚆0羁1衿由上表可见：p→q和q→p的真值表完全相同，所以p→qq→p。薇⑶(p↔q)p↔q蚇证明：证明(p↔q)和p↔q的真值表如表1.31所示。莃表1.31芈p芇q蒄p↔q蒂(p↔q)羁q肇p↔q薆0袄0莁1螈0莃1羃0袀0薈1莄0肁1芀0艿1蒆1蒃0虿0罿1芃1薂1膈1蝿1芅1羄0螂0芆0莆由上表可见：(p↔q)和p↔q的真值表完全相同，所以(p↔q)p↔q。肂⑷p→(q→r)(p∧q)→r芁证明：证明p→(q→r)和(p∧q)→r的真值表如表1.32所示。羆表1.32膃p膁q蚀r蚆q→r蒂p→(q→r)螀p∧q芇(p∧q)→r蚄0蒃0衿0螆1蒄1芁0芁1膆0膅0莂1莀1衿1袅0蒃1蒈0艿1蚆0膁0袀1蚈0莆1节0罿1膇1膆1莄1莁0薇1袇1膁0葿0羆1莃1膂0薈1蒅1肃0芄1羀1腿1袄0肁1聿1薈1薄0肂0蒁0羈1莅0膄1蕿1莇1肅1羁1羂1袆1袅由上表可见：p→(q→r)和(p∧q)→r的真值表完全相同，所以p→(q→r)(p∧q)→r。羃⑸p→(q→p)p→(p→q)肀证明：证明p→(q→p)和p→(p→q)的真值表如表1.33所示。芆表1.33薆p肄q膈q→p罿p→(q→p)芆p袁q薁p→q荿p→(p→q)肇0羃0虿1螈1薃1羄1羂1芇1芃0螁1膀0蚇1肄1袃0芈1肆1螄1袄0薁1蒅1蒄0蚂1蝿1腿1芅1螃1肁1蚈1羅0薀0膀0肈1螅由上表可见：p→(q→p)和p→(p→q)的真值表完全相同，且都是永真式，所以p→(q→p)p→(p→q)。薂⑹(p↔q)(p∨q)∧(p∧q)莈证明：证明(p↔q)和(p∨q)∧(p∧q)的真值表如表1.34所示。蒇表1.34蒆p蚃q蚁p↔q袆(p↔q)芆p∨q蒀p∧q蝿(p∧q)莆(p∨q)∧(p∧q)羇0薂0膁1聿0蒃0