【优质】长沙市中考数学压轴题含答案

长沙市中考数学压轴题1、（本题满分10分）【2008】如图，六边形ABCDEF内接于半径为r（常数）的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA.（1）当∠BAD=75时，求BC⌒的长；（2）求证：BC∥AD∥FE；（3）设AB=x，求六边形ABCDEF的周长L关于x的函数关系式，并指出x为何值时，L取得最大值.2、（本题满分10分）【2009】如图，二次函数2yaxbxc（0a）的图象与x轴交于AB、两点，与y轴相交于点C．连结ACBCAC、，、两点的坐标分别为(30)A，、(03)C，，且当4x和2x时二次函数的函数值y相等．（1）求实数abc，，的值；（2）若点MN、同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BABC、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将BMN△沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以BNQ，，为项点的三角形与ABC△相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．3、（本题满分10分）【2010】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，82OAcm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线214yxbxc经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．ABCDEFO·yOxCNBPMABAPxCQOy第26题图4、（本题满分10分）【2011】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．（第26题）（1）求点B的坐标；（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值；（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．5、（本题满分10分）【2012】如图半径分别为m,n）（n0m的两圆⊙O1和⊙O2相交于P,Q两点，且点P（4,1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1与x轴，y轴分别切于点M，点N，⊙O2与x轴，y轴分别切于点R，点H。（1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式；（2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离d；（3）令四边形PO1QO2的面积为S1,四边形RMO1O2的面积为S2.试探究：是否存在一条经过P,Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为dss2-21的抛物线？若存在，亲、请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。6、（本题满分10分）【2007】如图，平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于F，FE，DC的延长线交于点G，设BE=x，△DEF的面积为S．（1）求证：△BEF∽△CEG；（2）求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围；（3）当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？xyQBAOP..7、（本题满分10分）【2006】如图1，已知直线12yx与抛物线2164yx交于AB，两点．（1）求AB，两点的坐标；（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在AB，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与AB，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．8、（本题满分10分）【2005】答案1．(1)连结OB、OC，由∠BAD=75，OA=OB知∠AOB=30，··········（1分）∵AB=CD，∴∠COD=∠AOB=30，∴∠BOC=120，··············（2分）故BC⌒的长为3r2．···························（3分）(2)连结BD，∵AB=CD，∴∠ADB=∠CBD，∴BC∥AD，··········（5分）同理EF∥AD，从而BC∥AD∥FE．···················（6分）(3)过点B作BM⊥AD于M，由(2)知四边形ABCD为等腰梯形，从而BC=AD-2AM=2r-2AM．（7分）∵AD为直径，∴∠ABD=90，易得△BAM∽△DAB∴AM=ADAB2=rx22，∴BC=2r-rx2，同理EF=2r-rx2············（8分）∴L=4x+2(2r-rx2)=rxxr4422=rrxr622，其中0＜x＜r2··（9分）∴当x=r时，L取得最大值6r．····················（10分）yxOyxOPA图2图1BBA2、略3、26．解：(1)∵CQ＝t，OP=2t，CO=8∴OQ=8－t∴S△OPQ＝212(8)24222tttt（0＜t＜8）…………………3分(2)∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ＝11882828(822)22tt＝322…………5分∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于322…………6分（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,△QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90°又∵BQ与AO不平行∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP………………7分∴828822ttt解得：t＝4经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）此时P（42，0）∵B（82，8）且抛物线214yxbxc经过B、P两点，∴抛物线是212284yxx，直线BP是：28yx…………………8分设M（m,28m）、N(m，212284mm)∵M在BP上运动∴4282m∵2112284yxx与228yx交于P、B两点且抛物线的顶点是P∴当4282m时，12yy………………………………9分∴12MNyy＝21(62)24m∴当62m时，MN有最大值是2∴设MN与BQ交于H点则(62,4)M、(62,7)H∴S△BHM＝13222＝32∴S△BHM：S五边形QOPMH＝32:(32232)＝3:29∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29．…………………10分4、（1）过点B作BC⊥y轴于点C，……………………………………………1分∵A（0，2），△AOB为等边三角形，∴AB=OB=2，∠BAO=60，∴BC=3，OC=AC=1，即B(3，1).…………………3分（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，不失一般性，∵∠PAQ=∠OAB=60，∴∠PAO=∠QAB，………………4分在△APO和△AQB中，∵AP=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB，∴△APO≌△AQB总成立，……………………………………………5分∴∠ABQ=∠AOP=90总成立，∴点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值90.…………6分（3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行.………………………………………………7分①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形.当AB∥OQ时，∠BQO=90，∠BOQ=∠ABO=60，又OB=OA=2，可求得BQ=3，由（2）可知△APO≌△AQB，∴OP=BQ=3，∴此时P的坐标为（－3，0）.…………………………………………9分②当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B的上方，此时，若AQ∥OB，四边形AOBQ即是梯形.当AQ∥OB时，∠QAB=∠ABO=60°,∠ABQ=90°，AB=2，∴BQ=32.由（2）可知△APO≌△AQB，∴OP=BQ=32，∴此时P的坐标为（32，0）.综上，P的坐标为（－3，0）或（32，0）.………………………10分5、(1)由题意可知，两圆的圆心都在第一、三象限的角平分线上，故所求解析式为：y=x(2)∵O1(m,m),O2(n,n)(m﹤n),两圆的半径分别为m,n，∴O1P=m,O2P=n,由题意及勾股定理得：222222)4-()1-)-4()1-nnnmmm（（解得：m=22-5,n=225故d=O1O2=8242)-(2nm(也可构造一元二次方程，利用韦达定理求解)(3)方法1；∵P(4,1)，根据对称性，Q(1,4),故PQ=23,∵PQ⊥O1O2;∴S1=，212823212121OOPQS2=220)-)((21mnnm故dss2-21=182220-212；∵P(4,1),即P到y轴的距离=4，P又在x轴上方，故当抛物线开口向下时，且过P,Q两点时，抛物线在x轴上截得的距离不可能为1，故不存在这样的抛物线；xyCQBAOPxyQBAOP方法2：同上求出dss2-21=1，设抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（x1,0）,(x2,0);则，1-21xx设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，于是有：141416acbacba解得：0110-82aa，求得8175a﹥0，与题意矛盾，故不存在这样的抛物线。6、（1）证明：∵AB∥GD，∴∠B=∠GCE，又∵∠BEF=∠GEC，∴△BEF∽△CEG．（2）解：由（1）DG为△DEF中EF边上的高，在Rt△BFE中，∠B=60°，EF=BEsinB=x，（4分）在Rt△CEG中，CE=3﹣x，CG=（3﹣x）cos60°=，∴DG=DC+CG=，（5分）∴S=EF•DG=﹣x2+x，（6分）其中0＜x≤3．（7分）（3）解：∵a=﹣，对称轴x=，∴当0＜x≤3时，S随x的增大而增大，∴当x=3，即E与C重合时，S有最大值．（9分）S最大=3．（10分）7、（1）解：依题意得216412yxyx解之得12126432xxyy(63)(42)AB，，，·········································································3分（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于CD，两点，交AB于M（如图1）由（1）可知：3525OAOB55AB··························································4分1522OMABOB过B作BEx⊥轴，E为垂足yxO图1DMACB第26题Ｅ由BEOOCM△∽△，得：54OCOMOCOBOE，，同理：55500242ODCD，，，，·····················5分设CD的解析式为(0)ykxbk52045522kkbbb·······························································6分AB的垂直平分线的解析式为：522yx．（3）若存在点P使APB△的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线12yxm上，并设该直线与x轴，y轴交于GH，两点（如图2）．212164yxmyx2116042xxm抛物线与直线只有一个交