解三角形PPT

第7讲解三角形第7讲│云览高考[云览高考]考点统计题型(频率)考例(难度)考点1正弦定理与余弦定理选择(1)解答(1)2012湖北卷8(B)，2011湖北卷16(B)考点2三角形的面积问题0考点3解三角形的实际应用1：测量问题0考点4解三角形的实际应用2：航海问题0说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题．第7讲│主干知识整合主干知识整合第7讲│主干知识整合1.正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆半径)，变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，变形：cosA＝b2＋c2－a22bc＝b＋c2－a22bc－1.3．面积公式S＝12absinC：导出公式S＝abc4R(R外接圆半径)；S＝12(a＋b＋c)r(r内切圆半径)．第7讲│主干知识整合4．常用技巧(1)利用正弦定理实现边角互化．(2)若三角形ABC为锐角三角形，则A＋Bπ2，sinAcosB，cosAsinB，a2＋b2c2.类比三角形ABC为钝角三角形可得相应结论.要点热点探究第7讲│要点热点探究►探究点一正弦定理与余弦定理例1(1)[2012·福建卷]在△ABC中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，BC＝3，则AC＝________.(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C,3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为()A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶4第7讲│要点热点探究[思考流程](1)(分析)将已知的边角条件在△ABC中标出⇨(推理)根据正弦定理列出等式⇨(结论)求出对应的边长AC.(2)(分析)得到边a，b，c的大小及其关系⇨(推理)根据余弦定理列出等式⇨(结论)求出对应的边长c，即得a，b；最后由正弦定理得结论．第7讲│要点热点探究正弦定理与余弦定理的几种问题[解析](1)在△ABC中，利用正弦定理得：ACsin45°＝BCsin60°⇒ACsin45°＝3sin60°⇒AC＝3sin45°sin60°＝2.(2)因为a，b，c为连续的三个正整数，且ABC，可得a＝c＋2，b＝c＋1①.又因为3b＝20acosA，由余弦定理可知cosA＝b2＋c2－a22bc，则3b＝20a·b2＋c2－a22bc②，联立①②，化简可得7c2－13c－60＝0，解得c＝4或c＝－157(舍去)，则a＝6，b＝5.又由正弦定理可得，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4.故选D.[答案](1)2(2)D第7讲│要点热点探究[规范评析]利用正弦、余弦定理解三角形的常见题型：①已知两角及一边，利用正弦定理求解；②已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一；③已知两边及其夹角，利用余弦定理求解；④已知三边，利用余弦定理求解．第7讲│要点热点探究变式题(1)在△ABC中，a＝4，b＝52，5cos(B＋C)＋3＝0，则角B的大小为()A.π6B.π4C.π3D.5π6(2)在△ABC中，已知sinB＋sinC＝sinA(cosB＋cosC)，则△ABC的形状为________．第7讲│要点热点探究[答案](1)A(2)直角三角形[解析](1)由5cos(B＋C)＋3＝0得cosA＝35，则sinA＝45.由正弦定理得445＝52sinB，求得sinB＝12.又ab，所以B必为锐角，即B＝π6.故选A.(2)设A，B，C对边分别为a，b，c.由已知等式利用正弦、余弦定理得b＋c＝aa2＋c2－b22ac＋a2＋b2－c22ab，整理得(b＋c)(b2＋c2－a2)＝0.∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形，且∠A＝90°.第7讲│要点热点探究►探究点二三角形的面积问题例2在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cosA，cosB)，n＝(2c＋b，a)，且m⊥n.(1)求角A的大小；(2)若a＝4，求△ABC面积的最大值．第7讲│要点热点探究三角形的面积问题解：(1)∵mn，∴mn＝(cosA，cosB)·(2c＋b，a)＝(2c＋b)cosA＋acosB＝0.(2分)由正弦定理可得(2sinC＋sinB)cosA＋sinAcosB＝0，即2sinCcosA＋(sinBcosA＋sinAcosB)＝0，整理可得sinC＋2sinCcosA＝0.∵0＜C＜π，∴sinC＞0，∴cosA＝－12，∴A＝2π3.(5分)(2)由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝b2＋c2＋bc≥3bc(当且仅当b＝c时取等号)，故bc≤163.(8分)故△ABC的面积为S＝12bcsinA＝34bc≤433，当且仅当b＝c＝433时，△ABC的面积取得最大值433.(12分)第7讲│要点热点探究[规范评析]在含有边角混合等式的问题中，如何进行转化是问题的关键．当等式中含有角的余弦、正弦时首先要考虑使用正弦定理把边的关系转化为角的三角函数关系，以便于问题的解决．在解三角形问题中要注意方程思想的应用，正弦定理、余弦定理本身就是一个方程，当已知三角形面积时得边角的一个方程，就把求解的元素纳入到方程中，通过方程解三角形．第7讲│要点热点探究变式题设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且(2b－3c)cosA＝3acosC.(1)求角A的大小；(2)若角B＝π6，BC边上的中线AM的长为7，求△ABC的面积．第7讲│要点热点探究解：(1)∵(2b－3c)cosA＝3acosC，∴(2sinB－3sinC)cosA＝3sinAcosC.即2sinBcosA＝3sinAcosC＋3sinCcosA.∴2sinBcosA＝3sin(A＋C)．则2sinBcosA＝3sinB，∴cosA＝32，因为0Aπ，则A＝π6.(2)由(1)知A＝B＝π6，所以AC＝BC，C＝2π3，设AC＝x，则MC＝12x，又AM＝7.在△AMC中，由余弦定理得AC2＋MC2－2AC·MCcosC＝AM2，即x2＋x22－2x·x2·cos2π3＝(7)2，解得x＝2，故S△ABC＝12x2sin2π3＝3.第7讲│要点热点探究►探究点三解三角形的实际应用1—测量问题例3如图2－7－1，某人在斜坡上仰视对面山顶上的一座铁塔AB，发现在P点处的视角∠APB的正切值为211.若塔所在山高OA＝220m，OC＝200m，观测者所在斜坡CP的直线距离为605m，斜坡与水平面夹角为α，且tanα＝12，据此推测，塔高AB约为________m．(点P与OAC在同一竖直面内)图2－7－1第7讲│要点热点探究解三角形的实际应用1——测量问题[解析]过点P分别作OC，OB的垂线PM，PN，垂足分别为M，N，因为PC＝605，tanα＝12，所以CM＝120，PM＝ON＝60，所以AN＝OA－ON＝160，PN＝OM＝OC＋CM＝320，tan∠APN＝ANPN＝12.于是在Rt△PNB中，tan∠BPN＝tan(∠APN＋∠BPA)＝tan∠APN＋tan∠BPA1－tan∠APN·tan∠BPA＝12＋2111－12×211＝34.又tan∠BPN＝BNPN，所以BN＝240，则AB＝BN－AN＝80.故填80.[答案]80第7讲│要点热点探究变式题如图2－7－2，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6km的速度步行了1min以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途看塔顶端的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°.(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；(2)求塔的高AB.图2－7－2第7讲│要点热点探究解：(1)依题意知：在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝6000×160＝100(m)，∠D＝180°－135°－30°＝15°，由正弦定理得CDsin∠DBC＝BCsinD，∴BC＝CD·sinDsin∠DBC＝100×sin15°sin135°＝100×6－2422＝506－22＝50(3－1)m.在Rt△ABE中，tanα＝ABBE，∵AB为定长，∴当BE的长最小时，α取最大值60°，这时BE⊥CD.第7讲│要点热点探究当BE⊥CD时，在Rt△BEC中，EC＝BC·cos∠BCE＝50(3－1)×32＝25(3－3)(m)．设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了tmin，则t＝EC6000×60＝253－36000×60＝3－34(min)．(2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE⊥CD，在Rt△BEC中，BE＝BC·sin∠BCD，∴AB＝BE·tan60°＝BC·sin∠BCD·tan60°＝50(3－1)×12×3＝25(3－3)(m)．即所求塔高为25(3－3)m.第7讲│要点热点探究►探究点四解三角形的实际应用2—航海问题例4在海岛A上有一座海拔1km的山，山顶设有一个观测站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处(如图2－7－3)．(1)求该船的航行速度；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A多远？图2－7－3第7讲│要点热点探究解三角形的实际应用2——航海问题解：(1)在Rt△PAB中，∠APB＝60°，PA＝1，∴AB＝3.(2分)在Rt△PAC中，∠APC＝30°，PA＝1，∴AC＝33.(3分)在△ACB中，∠CAB＝30°＋60°＝90°，∴BC＝AC2＋AB2＝303.(5分)则船的航行速度为303÷16＝230(km/h)．(6分)第7讲│要点热点探究(2)在Rt△ABC中，sin∠ACB＝ABBC＝31010，sin∠CBA＝ACBC＝1010.(8分)在△ACD中，sin∠DCA＝sin∠ACB＝31010，sin∠CDA＝sinπ3－∠CBA＝33－11020.(10分)由正弦定理，得ADsin∠DCA＝ACsin∠CDA，∴AD＝AC·sin∠DCAsin∠CDA＝9＋313(km)．(12分)规律技巧提炼第7讲│规律技巧提炼•规律当已知三角形的两边和其中一个边的对角求解第三边时，可以使用正弦定理，也可以使用余弦定理，使用余弦定理就是根据余弦定理本身是一个方程，这个方程联系着三角形的三条边和其中的一个内角，在这类试题中要注意方程思想的运用．•技巧在与三角形面积S＝12absinC有关的问题中，注意使用不等式ab≤a＋b22.•易错当已知两边及一边的对角，而使用正弦定理解三角形时，可能有一解、两解，注意讨论；在求与三角形内角有关的三角函数取值范围，最值时易忽视角的范围限制出错.第7讲│教师备用例题例1在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanA＝12，cosB＝31010.(1)求角C的大小；(2)若△ABC的最长边的长为1，求最短边的长．第7讲│教师备用例题解：(1)由cosB＝31010知，角B为锐角，则tanB＝13，于是tanC＝tan(π－A－B)＝－tan(A＋B)＝－tanA＋tanB1－tanAtanB＝－1，即角C＝3π4.(2)由(1)知，c边最长，即c＝1，由tanAtanB，所以b边最短．因为sinB＝1010，sinC＝22，由正弦定理得b＝csinBsinC＝55，所以最短边的长为55.第7讲│教师备用例题例2在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．(1)求角B的大小；(2)求2sin2A＋cos(A－C)的取值范围．第7讲│教师备用例题解：(1)因为acosC，bcosB，ccosA成等差数列，所以acosC＋ccosA＝2bcosB.由正弦定理得sinAcosC