第九章-重积分习题与答案

1第九章重积分A1、填空题1）交换下列二次积分的积分次序（1）dxyxfdyyy102,______________________________________________（2）dxyxfdyyy2022,______________________________________________（3）dxyxfdyy100,_______________________________________________（4）dxyxfdyyy101122,___________________________________________（5）dyyxfdxex1ln0,______________________________________________（6）dxyxfdyyy404214,________________________________________2）积分dyedxxy2022的值等于__________________________________3)设10,10,yxyxD，试利用二重积分的性质估计dyxxyID的值则。4)设区域D是有x轴、y轴与直线1yx所围成，根据二重积分的性质，试比较积分dyxID2与dyxID3的大小________________________________5）设20,20,yxyxD，则积分dxdyyxID2sin1___________________________________________6)已知是由12,0,0,0zyxzyx所围，按先z后y再x的积分次序将xdxdydzI化为累次积分，则__________________________I7）设是由球面222yxz与锥面22yxz的围面，则三重积分dxdydzzyxfI)(222在球面坐标系下的三次积分表达式为2、把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值21）axaxdyyxdx2020222)(2）axdyyxdx00223、利用极坐标计算下列各题1）Dyxde22，其中D是由圆周122yx及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.2）Ddyx)1ln(22，其中D是由圆周122yx及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.3）Ddxyarctan，其中D是由圆周1,42222yxyx及直线xyy,0所围成的在第一象限的闭区域.4、选用适当的坐标计算下列各题1)Ddyx22,其中D是直线xyx,2及曲线1xy所围成的闭区域.32）Dydxsin)1(，其中D是顶点分别为)2,1(),0,1(),0,0(和)1,0(的梯形闭区域.3）DdyxR222，其中D是圆周Rxyx22所围成的闭区域.4）Ddyx22，其中D是圆环形闭区域2222),(byxayx.5、设平面薄片所占的闭区域D由螺线2上一段弧20与直线2所围成，它的面密度为22,yxyx，求这薄片的质量（图9-5）.6、求平面0y，0kkxy，0z，以及球心在原点、半径为R的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积（图9-6）.47、设平面薄片所占的闭区域D由直线2yx，xy和x轴所围成，它的面密度22,yxyx，求该薄片的质量.8、计算由四个平面0x，0y，1x，1y所围成的柱体被平面0z及632zyx截得的立体的体积.9、求由平面0x，0y，1yx所围成的柱体被平面0z及抛物面zyx622截得的立体的体积.10、计算以xoy面上的圆周axyx22围成的闭区域为底，而以曲面22yxz为顶的曲顶柱体的体积.511、化三重积分dxdydzzyxfI,,为三次积分，其中积分区域分别是1）由双曲抛物面zxy及平面0,01zyx所围成的闭区域.2）由曲面222yxz及22xz所围成的闭区域.12、设有一物体，占有空间闭区域10,10,10,,zyxzyx，在点zyx,,处的密度为zyxzyx,,，计算该物体的质量.13、计算dxdydzzxy32，其中是由曲面xyz，与平面1,xxy和0z所围成的闭区域.14、计算xyzdxdydz，其中为球面1222zyx及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.15、算zdxdydz，其中是由锥面22yxRhz与平面0,0hRhz所围成的闭区域.616、利用柱面坐标计算三重积分zdv，其中是由曲面222yxz及22yxz所围成的闭区域.17、利用球面坐标计算三重积分dvzyx222，其中是由球面1222zyx所围成的闭区域.18、选用适当的坐标计算下列三重积分1）xydv，其中为柱面122yx及平面1z，0z0x，0y所围成的在第一卦限内的闭区域.2）dxdydzz2，其中是两个球2222Rzyx和)0(2222RRzzyx的公共部分.3）dvyx22，其中是由曲面222254yxz及平面5z所围成的闭区域.74）dvyx22，其中闭区域由不等式Azyxa2220，0z所确定.19、利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积1）226yxz及22yxz.2）02222aazzyx及222zyx(含有z轴的部分).20、球心在原点、半径为R的球体，在其上任意一点的密度大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的的质量.21、求球面2222azyx含在圆柱面axyx22内部的那部分面积.22、求锥面22yxz被柱面xz22所割下部分的曲面面积.823、求由抛物线2xy及直线1y所围成的均匀薄片（面密度为常数）对于直线1y的转动惯量.24、设薄片所占的闭区域D如下，求均匀薄片的质心D是半椭圆形闭区域0,1,2222ybyaxyx.25、设平面薄片所占的闭区域D由抛物线2xy及直线xy所围成，它在点yx,处的面密度yxyx2,，求该薄片的质心.25、利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心（设密度1）1）222yxz，1z92）222yxAz，222yxaz0aA,0z26、求半径为a高为h的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量（设密度1）.B1、根据二重积分的性质，比较下列积分的大小1）dyxD2与dyxD3，其中积分区域D是由圆周21222yx所围成.2）dyxDln与dyxD2ln，其中D是三角形闭区域，三顶点分别为0,1，1,1，0,2.2、计算下列二重积分1）deyx，其中1,yxyxD2）Ddxyx22，其中D是由直线2y，xy及xy2所围成的闭区域103），dyxyD9632，其中222,RyxyxD3、化二重积分dyxfID,为而次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D是1）由x轴及半圆周222ryx0y所围成的闭区域2）环形闭区域41,22yxyx4、求由曲面222yxz及2226yxz所围成的立体的体积.5、计算31zyxdxdydz，其中为平面0x，0y，0z，1zyx所围成11的四面体.6、计算下列三重积分1)dxdydzz2，其中是两个球：2222Rzyx和Rzzyx22220R的公共部分.2)dvzyxzyxz11ln222222，其中是由球面1222zyx所围成的闭区域.3)dvzy22，其中是由xoy平面上曲线xy22绕x轴旋转而成的曲面与平面5x所围成的闭区域.7、设球体占有闭区域Rzzyxzyx2,,222，它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的球心.128、一均匀物体（密度为常量）占有的闭区域由曲面22yxz和平面0z，,axay所围成1）求物体的体积;2）求物体的质心;3）求物体关于z轴的转动.C1、利用二重积分的性质，估计积分DdyxI10，其中D是由圆周422yx所围成.2、用二重积分计算立体的体积V，其中由平面0z，xy，axy，ay2和yxz23所围成0a.3、计算二重积分Dydxdy，其中D是由直线2x，0y以及曲线22yyx所围成的平面区域.4、设yxf,在积分域上连续，更换二次积分yydxyxfdyI311102,的积分次序.5、计算二重积分dxdyxyID2，其中积分区域D是由20y和1x确定.136、求二重积分dxdyxeyDyx22211的值，其中D是由直线xy，1y及1x围成的平面区域.7、计算dvz2,其中由曲面2222Rzyx及2222Rrzyx围成.8、计算dxdydzzxyI32，其中是由曲面xyz与平面1y及0z所围成的闭区域.9、设有一半径为R的球体，0P是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P的距离的平方成正比（比例常数0k），求球体的重心的位置.10、设有一高度为th（t为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程thyxzthz22（设长度单位为cm，时间单位为h），已知体积减少的速率与侧面积成正比例（比例系数9.0），问高度为130（cm）的雪堆全部融化需多少时间？。