江苏省2014年高考数学(文)二轮复习简易通配套课件：常考问题12 圆锥曲线的基本问题

•常考问题12圆锥曲线的基本问题[真题感悟][考题分析]•1．圆锥曲线的定义•(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a|F1F2|)；•(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a|F1F2|)．2．圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x2a2＋y2b2＝1(ab0)(焦点在x轴上)或y2a2＋x2b2＝1(ab0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)(焦点在x轴上)或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)(焦点在y轴上)．3．圆锥曲线的几何性质(1)椭圆：e＝ca＝1－b2a2；(2)双曲线：①e＝ca＝1＋b2a2.②渐近线方程：y＝±bax或y＝±abx.4．求圆锥曲线标准方程常用的方法(1)定义法(2)待定系数法①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a不具有p的几何意义；②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x2m＋y2n＝1(m＞0，n＞0)；双曲线方程可设为x2m－y2n＝1(mn＞0)．这样可以避免讨论和繁琐的计算．•5．求轨迹方程的常用方法•(1)直接法：将几何关系直接转化成代数方程；•(2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；•(3)代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；•注意：①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；③化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.热点与突破热点一圆锥曲线的定义与标准方程【例1】设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________________．解析法一x227＋y236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，根据定义2a＝|152＋12－152＋72|＝4，故a＝2.又b2＝32－22＝5，故所求双曲线方程为y24－x25＝1.法二x227＋y236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则a2＋b2＝9，16a2－15b2＝1，解得a2＝4，b2＝5，故所求双曲线方程为y24－x25＝1.法三设双曲线方程为x227－λ＋y236－λ＝1(27λ36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)，故所求双曲线方程为y24－x25＝1.答案y24－x25＝1•[规律方法]本例可有三种解法：一是根据双曲线的定义直接求解，二是待定系数法；三是共焦点曲线系方程，其要点是根据题目的条件用含有一个参数的方程表示共焦点的二次曲线系，再根据另外的条件求出参数．【训练1】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为____________．解析设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由e＝22，知ca＝22，故b2a2＝12.由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8，∴椭圆C的方程为x216＋y28＝1.答案x216＋y28＝1热点二圆锥曲线的几何性质【例2】(2013·浙江卷改编)如图，F1，F2是椭圆C1：x24＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是________．解析由题意可知|F1F2|＝23，∴c＝3.设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．∵|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a.在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，即(2－a)2＋(2＋a)2＝(23)2，∴a＝2，∴e＝ca＝32＝62.答案62•[规律方法]求解圆锥曲线的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出a，c，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于a，c的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数．【训练2】(1)(2013·天津卷改编)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p＝________.(2)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦距为2c，若直线y＝2x与椭圆的一个交点的横坐标为c，则椭圆的离心率为________．解析(1)因为双曲线的离心率e＝ca＝2，所以b＝3a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±3x，与抛物线的准线x＝－p2相交于A－p2，32p，B－p2，－32p，所以△AOB的面积为12×p2×3p＝3，又p0，所以p＝2.(2)因为直线与椭圆的一个交点的横坐标为c，所以这个交点的坐标为c，b2a，则有b2a＝2c，即有b2＝a2－c2＝2ac，e2＋2e－1＝0，解得e＝2－1(另一个解不符合要求，舍去)．答案(1)2(2)2－1热点三求动点的轨迹方程【例3】在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(ab0)为动点，F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足AM→·BM→＝－2，求点M的轨迹方程．解(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c0)．由题意可得|PF2|＝|F1F2|，即a－c2＋b2＝2c.整理得2ca2＋ca－1＝0，得ca＝12或ca＝－1(舍)，所以e＝12.(2)由(1)知a＝2c，b＝3c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2方程为y＝3(x－c)．A，B两点的坐标满足方程组3x2＋4y2＝12c2，y＝3x－c.消去y并整理，得5x2－8cx＝0，解得x1＝0，x2＝85c，得方程组的解x1＝0，y1＝－3c，x2＝85c，y2＝335c.不妨设A85c，335c，B0，－3c.设点M的坐标为(x，y)，则AM→＝x－85c，y－335c，BM→＝(x，y＋3c)．由y＝3(x－c)，得c＝x－33y.于是AM→＝8315y－35x，85y－335x，BM→＝(x，3x)．由题意知AM→·BM→＝－2，即8315y－35x·x＋85y－335x·3x＝－2，化简得18x2－163xy－15＝0.将y＝18x2－15163x代入c＝x－33y，得c＝10x2＋516x0，所以x0.因此，点M的轨迹方程是18x2－163xy－15＝0(x0)．•[规律方法](1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预•知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解．•(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围．•【训练3】(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知圆•M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.•(1)求C的方程；•(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解(1)设圆P的半径为r，则|PM|＝1＋r，|PN|＝3－r，∴|PM|＋|PN|＝4|MN|，∴P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆(左顶点除外)，且2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.∴P的轨迹曲线C的方程为x24＋y23＝1(x≠－2)．(2)由(1)知2r＝(|PM|－|PN|)＋2≤|MN|＋2＝4，∴圆P的最大半径为r＝2.此时P的坐标为(2,0)．圆P的方程为(x－2)2＋y2＝4.①当l的倾斜角为90°，方程为x＝0时，|AB|＝23，②当l的倾斜角不为90°，设l的方程为y＝kx＋b(k∈R)，|－k＋b|1＋k2＝1，|2k＋b|1＋k2＝2，解得k＝24，b＝2或k＝－24，b＝－2.∴l的方程为y＝24x＋2，y＝－24x－2.联立方程x24＋y23＝1，y＝24x＋2，化简得7x2＋8x－8＝0，解之得x1＝－4＋627，x2＝－4－627.∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝187.当k＝－24时，由图形的对称性可知|AB|＝187.综上，|AB|＝23或187.