工程力学材料力学弯矩计算

HOHAIUNIVERSITY1Ch9弯曲内力§9-1概述外力特点：垂直于杆轴线外力，或作用在包含轴线平面内的外力偶。变形特点：杆的轴线弯成曲线，且杆的横截面相对转动一角度。Fq(x)Me纵向对称面HOHAIUNIVERSITY2以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。工程中绝大多数梁都有一纵向对称面，且外力均作用在此面内，此时梁的轴线在此对称面内弯成一条平面曲线，梁发生平面弯曲。平面弯曲是杆件的一种基本变形。Fq(x)MeHOHAIUNIVERSITY3按梁的支承情况，梁有三种基本形式。梁的分类：1.简支梁：一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的梁。2.外伸梁：简支但一端或两端具有外伸部分的梁。3.悬臂梁：一端固定，另一端为自由的梁。静定梁：可由静力平衡方程求出所有支座反力的梁。超静定梁：仅用静力平衡方程不能求出全部支座反力的梁。梁两支座间的距离称为跨度，其长度称为跨长。HOHAIUNIVERSITY4ABqF1F2F1F2ABABq(x)ABqCF16.5HOHAIUNIVERSITY5§9-2弯曲内力1.剪力用FQ表示,单位N,kN。弯矩用M表示,单位N·m,kN·m。2.符号规定:剪力:作用于横截面上的剪力使研究对象有顺时针转动趋势的为正,反之为负。FQFQFQFQ+-——剪力和弯矩HOHAIUNIVERSITY6弯矩:作用于横截面上的弯矩使研究对象产生下凸趋势的为正,反之为负。MMMM+-HOHAIUNIVERSITY7AF1FRAammxxMFQycABF1F2ammx1).梁上任一横截面上的剪力，在数值上等于该截面一侧所有外力沿横截面方向投影的代数和。2).梁上任一横截面上的弯矩，在数值上等于该截面一侧所有外力对该截面形心力矩的代数和。截面法HOHAIUNIVERSITY8剪力:作用于横截面上的剪力使研究对象有顺时针转动趋势的为正,反之为负。FQFQFQFQ+-弯矩:作用于横截面上的弯矩使研究对象产生下凸趋势的为正,反之为负。MMMM+-HOHAIUNIVERSITY9例1求解图示梁指定截面的内力。2mABq=2kN/m1m1m112233xy解：1.求支座反力MAFAymkN12AM2.求截面内力kN4AyFHOHAIUNIVERSITY10A11xMAFAyA11xMAFAy22解：1.求支座反力mkN12AM2.求截面内力kN4AyF1-1截面2-2截面3-3截面M1FQ1M2FQ2M3FQ3kN41QFmkN121MkN42QFmkN422AyAFMMkN23QFmkN15.0133qFMMAyAA11xMAFAy2233q=2kN/m此题可否不求解约束力?HOHAIUNIVERSITY11例2求解图示梁指定截面的内力。ABF3311225544M=4Faaaa解：1.求支座反力2.求截面内力HOHAIUNIVERSITY12ABlFabCq作业题：求A截面右侧、C截面左侧和右侧的内力。第十七次课结束处HOHAIUNIVERSITY13§5-3剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图FQ=FQ(x)剪力方程以平行于梁轴线的坐标轴为x轴,表示横截面的位置；以垂直于梁轴线的坐标轴为FQ轴或M轴,FQ以向上为正，M以向下为正，画出的图形称为剪力图或弯矩图。M=M(x)弯矩方程将各截面的剪力和弯矩表示为截面位置的函数二、剪力图和弯矩图：一、剪力方程和弯矩方程HOHAIUNIVERSITY14例3简支梁受均布荷载作用，如图所示。试列出剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图。ABqlx解：1.求支座反力2.列剪力方程、弯矩方程2/qlFAy2/qlFRBFAyFRBx截面qxqlxF2/)(Q2212122)(qxqlxxqxxqlxM)0(lx)0(lxHOHAIUNIVERSITY153.画剪力图、弯矩图ABqlqxqlxF2/)(Q2212122)(qxqlxxqxxqlxM)0(lx)0(lxxFQ+—2ql2ql82qlxM+HOHAIUNIVERSITY16例4一简支梁受集中荷载作用，如图所示。试列出剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图。ABlxFabC解：1.求支座反力2.列剪力方程、弯矩方程FAyFRB3.画剪力图、弯矩图HOHAIUNIVERSITY17xFQxMABlFabC+—FlbFlaFlab+HOHAIUNIVERSITY18例5一简支梁受均布荷载及集中荷载作用，如图所示。试列出剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图。ABlxFabCqHOHAIUNIVERSITY19例6一简支梁受集中力偶作用，如图所示。试列出剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图。ABMablxC分段点：集中力、集中力偶、分布荷载起止，剪力方程、弯矩方程要分段；剪力图、弯矩图有突变，为控制截面处。由此可见剪力图、弯矩图与荷载图之间存在一定的关系。17.5HOHAIUNIVERSITY20ABq(x)Fx§9-4弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系设一段梁受力如图x处取微段dx，微段受力如图由该微段的平衡方程∑Fiy=0即FQ(x)-[FQ(x)+dFQ(x)]+q(x)dx=0dxxq(x)dxM(x)FQ(x)M(x)+dM(x)FQ(x)+dFQ(x)CHOHAIUNIVERSITY21dFQ(x)dx=q(x)得dFQ(x)=q(x)dxM(x)FQ(x)M(x)+dM(x)FQ(x)+dFQ(x)q(x)dxC∑MC=0M(x)+FQ(x)dx-[M(x)+dM(x)]+q(x)dx=0dx2dM(x)dx=FQ(x)得dM(x)=FQ(x)dxd2M(x)dx2=q(x)从而HOHAIUNIVERSITY221.q(x)=0讨论：该梁段内FQ(x)=常数。故剪力图是平行于x轴的直线；弯矩是x的一次函数，弯矩图是斜直线。2.q(x)=常数该梁段内FQ(x)为线性函数。故剪力图是斜直线；弯矩是x的二次函数，弯矩图是二次抛物线。剪力为正，弯矩图向下倾斜；剪力为负，弯矩图向上倾斜。q(x)为正，剪力图向上倾斜，弯矩图为上凸曲线；q(x)为负，剪力图向下倾斜，弯矩图为下凸曲线。HOHAIUNIVERSITY23例7作如图所示外伸梁的剪力图和弯矩图。解：1.求支座反力2.画剪力图、弯矩图kN72AyFkN148RBFFAyFRB找控制截面，计算控制截面上剪力、弯矩112233445566kN721QF01MkN722QFmkN1442MkN723QFmkN163MkN884QFmkN804MkN605QFmkN805MkN206QF06MHOHAIUNIVERSITY24FAyFRB112233445566kN721QF01MkN722QFmkN1442MkN723QFmkN163MkN884QFmkN804MkN605QFmkN805MkN206QF06MFQ72886020(kN)M(kN·m)80113.63.6m++—+—+14416HOHAIUNIVERSITY25FAyFRB112233445566FQ72886020(kN)M(kN·m)80113.63.6m++—+—+14416q(x)=0剪力图是平行于x轴的直线；弯矩图是斜直线。q(x)=常数剪力图是斜直线；弯矩图是二次抛物线。第十八次课结束处HOHAIUNIVERSITY26例8作如图所示联合梁的剪力图和弯矩图。解：1.求支座反力2.画剪力图、弯矩图kN40RAFkN80CyF找控制截面，计算控制截面上剪力、弯矩kN401QF01MkN102QFmkN752MkN103QFmkN753MkN804QFmkN2404MMCFRAFCymkN240CM11223344HOHAIUNIVERSITY27FQ(kN)kN401QF01MkN102QFmkN752MkN103QFmkN753MkN804QFmkN2404M408010240M(kN·m)1075+—+—HOHAIUNIVERSITY28§9-5按叠加原理作弯矩图故可先分别画出各个荷载单独作用的弯矩图，然后将各图对应处的纵坐标叠加，得所有荷载共同作用的弯矩图。这是一个普遍性的原理，即叠加原理；凡是作用因素（如荷载，温度等）和所引起的结果（支座反力、内力、应力、变形等）之间成线性关系，叠加原理都适用。当梁在荷载作用下为微小变形时，梁的支座反力、剪力和弯矩与梁上荷载成线性关系。这时，在多个荷载作用下，梁的弯矩为各个荷载单独作用时的弯矩的代数和。HOHAIUNIVERSITY29ABqlMe=1/8ql2ABqlABlMe=1/8ql2+ql2/8M—ql2/8M如图按叠加原理作其弯矩图HOHAIUNIVERSITY30ABqlMe=1/8ql2+ql2/8MMe单独作用下弯矩图q单独作用下弯矩图ql2/8M-Mql2/8共同作用下弯矩图-+ql2/16