2012版步步高高考数学考前三个月专题复习课件5(1)：立体几何

专题五立体几何§1空间几何体真题热身1．(2011·湖北改编)设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是________．(填序号)①V1比V2大约多一半②V1比V2大约多两倍半③V1比V2大约多一倍④V1比V2大约多一倍半解析设球半径为R，则V1＝43πR3.设正方体棱长为a，则V2＝a3.又∵2R＝3a，∴R＝32a.∴V1＝4π3(32a)3＝32πa3.∴V1－V2＝(32π－1)a3≈1.7a3.④2．(2011·课标全国)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．解析设圆锥底面两圆半径为r，球的半径为R，则由πr2＝316×4πR2，知r2＝34R2.根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O，且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆的点，因此PB⊥QB.设PO′＝x，QO′＝y，则x＋y＝2R.①又△PO′B∽△BO′Q，知r2＝O′B2＝xy.即xy＝r2＝34R2.②由①②及xy可得x＝32R，y＝R2.则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为13.答案133．(2011·四川)如图，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．解析方法一圆柱的轴截面如图所示，设球的半径与圆柱的高所成的角为α，则圆柱底面半径为4sinα，高为8cosα，∴S圆柱侧＝2π·4sinα·8cosα＝32πsin2α.当sin2α＝1时，S圆柱侧最大为32π.此时S球表－S圆柱侧＝4π·42－32π＝32π.方法二设圆柱底面半径为r，则其高为2R2－r2，∴S圆柱侧＝2πr·2R2－r2＝4πr2(R2－r2)≤4πr2＋(R2－r2)2＝2πR2(当且仅当r2＝R2－r2，即r＝22R时取“＝”)．又R＝4，∴S圆柱侧最大为32π.此时S球表－S圆柱侧＝4π·42－32π＝32π.答案32π考点整合1．棱柱、棱锥(1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形．(2)正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形．2．几何体的切接问题(1)球的内接长方体、正方体、正四棱柱等关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长．(2)柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何问题．3．柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆)(1)表面积公式①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；④球的表面积S＝4πR2.(2)体积公式①柱体的体积V＝Sh；②锥体的体积V＝13Sh；③台体的体积V＝13(S′＋SS′＋S)h；④球的体积V＝43πR3.分类突破一、表面积与体积例1如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长和底面边长都是a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，求四面体B—B1DE的体积．解方法一取BB1中点F，连结DF，EF，则V＝V＋V锥B—DEF＝13B1F·S△DEF＋13BF·S△DEF＝13BB1·S△DEF＝13a·34×a22＝348a3.四面体B—B1ED锥B1—DEF方法二取BB1中点F，连结DF，EF，则V＝2V＝2·18·V＝2×18×13×34a3＝348a3.方法三设A、D两点到平面BCC1B1的距离分别为h、h′，则h′＝12h＝34a.V＝13h′·S＝13h′×14S＝13×34a×14a2＝348a3.四面体B—B1DE锥B1—DEF锥B1—ABC锥D—BB1E△BB1E正方形BB1C1C归纳拓展1.求规则几何体的体积，关键是确定底面和高，要注意多角度、多方位地观察，选择恰当的底面和高，使计算简便．2．求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为几个规则几何体，再进一步求解．变式训练1在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长AB＝AC＝2b，BC＝22b，AA1＝l，且∠A1AB＝∠A1AC＝60°，求这个三棱柱的侧面积及体积．解如图所示，作BM⊥A1A于点M，连结MC，取BC的中点D，连结AD、MD，∵AB＝AC，AM＝AM，∠A1AB＝∠A1AC，∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC＝90°∴MB＝MC＝3b.又∵MB⊥A1A，MC⊥A1A，MB∩MC＝M，∴AA1⊥平面BMC，∴直截面△BMC的周长为23b＋22b.∵AA1＝l，∴S侧＝l(23b＋22b)＝2(3＋2)·bl.又S△MBC＝12BC·MD＝12×22b·3b2－2b2＝2b2，∴V＝S△MBC·l＝2b2l.二、球与多面体例2(2010·课标全国)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_______．解析设三棱柱上底面所在圆的半径为r，球的半径为R，由已知r＝23·32a＝33a.又∵R2＝r2＋(12a)2＝13a2＋14a2＝712a2，∴S球＝4πR2＝4π·712a2＝73πa2.73πa2归纳拓展1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．2．若球面四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，则4R2＝a2＋b2＋c2，把有关元素“补形”成为一个球内接长方体(或其他图形)，从而显示出球的数量特征，这种方法是一种常用的好方法．变式训练2已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a.(1)求它的外接球的体积；(2)求它的内切球的表面积．解如图所示，△SAC的外接圆是外接球的一个大圆，所以只要求出这个外接圆的半径即可，而内切球的球心到棱锥的各个面的距离相等，所以可由正四棱锥的体积求出其半径．(1)设外接球的半径为R，球心为O，则OA＝OC＝OS，所以O为△SAC的外心，即△SAC的外接圆半径就是球的半径．∵AB＝BC＝a，∴AC＝2a，∵SA＝SC＝AC＝2a，∴△SAC为正三角形．由正弦定理得2R＝ACsin∠ASC＝2asin60°＝263a，因此R＝63a，V球＝43πR3＝8627πa3.(2)设内切球的半径为r，作SE⊥底面于E，作SF⊥BC于F，连结EF，则有SF＝SB2－BF2＝(2a)2－a22＝72a，S△SBC＝12BC·SF＝12a×72a＝74a2，S棱锥全＝4S△SBC＋S底＝(7＋1)a2，又SE＝SF2－EF2＝(72a)2－(a2)2＝62a，∴V棱锥＝13S底h＝13a2×62a＝66a3，∴r＝3V棱锥S全＝3×66a3(7＋1)a2＝42－612a，S球＝4πr2＝4－73πa2.三、几何体的综合问题例3如图(1)所示，在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF⊥平面ABCD，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图(2)所示．(1)求证：BE∥平面ADF；(2)求三棱锥F－BCE的体积．(1)证明方法一取DF的中点G，连结AG，EG，∵CE＝12DF，∴EG綊CD.又∵AB綊CD，∴EG綊AB.∴四边形ABEG为平行四边形．∴BE∥AG.∵BE⊄平面ADF，AG⊂平面ADF，∴BE∥平面ADF.方法二由图(1)可知BC∥AD，CE∥DF，折叠之后平行关系不变．∵BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，∴BC∥平面ADF，同理CE∥平面ADF.∵BC∩CE＝C，BC、CE⊂平面BCE，∴平面BCE∥平面ADF.∵BE⊂平面BCE，∴BE∥平面ADF.(2)解方法一∵VF－BCE＝VB－CEF，由图(1)可知BC⊥CD，∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF.由图(1)可知DC＝CE＝1，S△CEF＝12CE×DC＝12，∴VF－BCE＝VB－CEF＝13×BC×S△CEF＝16.方法二由图(1)，可知CD⊥BC，CD⊥CE，∵BC∩CE＝C，∴CD⊥平面BCE.∵DF∥CE，点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离为1，由图(1)，可知BC＝CE＝1，S△BCE＝12BC×CE＝12，∴VF－BCE＝13×CD×S△BCE＝16.方法三过E作EH⊥FC，垂足为H，如图所示，由图(1)，可知BC⊥CD，∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF.∵EH⊂平面DCEF，∴BC⊥EH，又BC∩FC＝C，∴EH⊥平面BCF.由BC⊥FC，FC＝DC2＋DF2＝5，S△BCF＝12BC×CF＝52，在△CEF中，由等面积法可得EH＝15，∴VF－BCE＝VE－BCF＝13×EH×S△BCF＝16.归纳拓展解决折叠问题要注意折叠前后位置关系的变化，特别是对折叠前后不变的条件的应用．求三棱锥的体积，基本方法就是直接根据体积公式计算，其难点是求出这个三棱锥的高，也就是顶点到底面的距离，一般可以根据平行关系转化为其他的点到底面的距离，也可以借助于两个平面垂直的性质定理直接作出高，同时要注意转化思想的运用．变式训练3(2011·陕西)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；(2)若BD＝1，求三棱锥D－ABC的表面积．(1)证明∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB.又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC.∵AD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC.(2)解由(1)知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA.∵DB＝DA＝DC＝1，∴AB＝BC＝CA＝2，从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝12×1×1＝12，S△ABC＝12×2×2×sin60°＝32，∴三棱锥D－ABC的表面积S＝12×3＋32＝3＋32.规范演练一、填空题1．给出下列三个命题：①相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱；②各侧面都是正方形的四棱柱是正方体；③底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正棱锥．其中假命题为________．(填序号)解析①是假命题，相邻侧面互相垂直不能保证侧棱垂直于底面；②是假命题，各侧面都是正方形，不能保证底面都是正方形，当底面为不是正方形的菱形时就不是正方体；③是假命题，如图所示，AB＝AC＝BC＝PB＝PC≠PA，侧面都是等腰三角形，但不是正棱锥．①②③2．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是________．解析三棱锥的三个侧面两两垂直，说明三棱锥的三条侧棱两两垂直，设其外接球的半径为R，则有(2R)2＝(3)2＋(3)2＋(3)2＝9，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝9π.9π3．已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝3，则球O的体积为________．解析据题意可知，如图：球O即棱长为3的正方体外接球，其半径r＝(3)2＋(3)2＋(3)24＝32，V＝43πr3＝9π2.9π24．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体的体积的最大值为________．解析如图，底ABD是固定的，当C动起来时，显然当平面CAD⊥平面ABD时高最大，体积最大，Vmax＝13·(34a2)·32a＝a38.18a35．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面