3.3.3函数的最大(小)值与导数课件 新人教A版选修1-1

3.3.3函数的最大(小)值与导数学习目标1．能够区分极值与最值两个不同的概念．2．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．课前自主学案温故夯基求函数f(x)的极值首先解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧_________，右侧__________,那么f(x0)是函数的_______；(2)如果在x0附近的左侧_________，右侧__________,那么f(x0)是函数的_______．f′(x0)＞0f′(x0)＜0极大值f′(x0)＜0f′(x0)＞0极小值xy0abcde观察图象，你能找出函数的极大值，极小值吗？xy0abcdexy0ab观察以上两个函数图象，它们在上有最大值，最小值吗？如果有，分别是什么？ba,知新益能函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得_________和_________，并且函数的最值必在________或______处取得．最大值最小值极值点端点问题探究在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？提示：一定有最值，但不一定有极值．如果函数f(x)在[a，b]上是单调的，此时f(x)在[a，b]上无极值；如果f(x)在[a，b]上不是单调函数，则f(x)在[a，b]上有极值．课堂互动讲练求已知函数的最值考点突破求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．例1求下列各函数的最值．(1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2,2]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．【思路点拨】利用导数确定极值点，比较极值与端点值，确定最值．【解】(1)f′(x)＝12x2＋6x－36＝6(2x2＋x－6)，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝32.又f(－2)＝57，f32＝－1154，f(2)＝－23，所以函数f(x)的最大值为57，最小值为－1154.(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；x＝1时，f(x)最大值＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.互动探究1若把本例(1)中条件改为[－2，＋∞),求函数的最值．解：f′(x)＝12x2＋6x－36，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝32.列表x－2(－2，32)32(32，＋∞)f′(x)0－0＋f(x)57－1154由于当x32时，f′(x)0，所以f(x)在(32，＋∞)上为增函数．因此，函数f(x)在[－2，＋∞)上只有最小值－1154，无最大值．已知函数的最大值或最小值，也可利用导数，采用待定系数法，列出字母系数的方程或方程组，解出字母系数，从而求出函数的解析式，进而可以研究函数的其他性质．已知函数的最值求参数例2若f(x)＝ax3－6ax2＋b(a0)，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a、b的值．【思路点拨】可先对f(x)求导，确定f(x)在[－1,2]上的单调性及最值，再建立方程从而求得a，b的值．【解】f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)．令f′(x)＝0，得x＝0，x＝4，∵x∈[－1,2]，∴x＝0.∵a0，∴f(x)，f′(x)随x变化情况如下表：x(－1,0)0(0,2)f′(x)＋0－f(x)最大值3∴当x＝0时，f(x)取最大值，∴b＝3.又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3f(2)，∴当x＝2时，f(x)取最小值，－16a＋3＝－29，∴a＝2，∴a＝2，b＝3.不等式恒成立时求参数的取值范围问题是一种常见的题型，这种题型的解法有多种，其中最常用的方法就是分离参数，然后转化为求函数的最值问题，在求函数最值时，可以借助导数求解．与最值有关的恒成立问题已知f(x)＝x3－12x2－2x＋5，当x∈[－1,2]时，f(x)m恒成立，求实数m的取值范围．例3【思路点拨】把mf(x)恒成立，转化为求f(x)在[－1,2]上的最大值，只要m大于此最大值即可.【解】∵f(x)＝x3－12x2－2x＋5，∴f′(x)＝3x2－x－2.令f′(x)＝0，即3x2－x－2＝0，∴x＝1，或x＝－23.列表：xf′(x)f(x)－1112(－1，－23)＋－23015727(－23，1)－xf′(x)f(x)1072(1,2)＋27∴当x＝－23时，f(x)取得极大值f－23＝5＋2227；当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝72.又f(－1)＝112，f(2)＝7.∴f(x)在x∈[－1,2]上的最大值为f(2)＝7，∴要使f(x)m恒成立，需f(x)maxm，即m7.∴所求实数m的取值范围是(7，＋∞)．【名师点评】有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．求解时要确定这个函数，看哪一个变量的范围已知，即函数是以已知范围的变量为自变量的函数．一般地，λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.互动探究2本例中，把“f(x)m”改为“f(x)≥m”,求实数m的取值范围．解：由例题解析可知f(－23)＝5＋2227，f(1)＝72，f(－1)＝112，f(2)＝7，∴f(x)在x∈[－1,2]上的最小值为f(1)＝72，∴要使f(x)≥m恒成立，需f(x)min≥m，即m≤72，∴所求实数m的取值范围是(－∞，72]．1．函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值.2．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；方法感悟极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.