3.2 简单的三角恒等变换

3.2简单的三角恒等变换一、三角变换的工具：1.同角三角函数的关系式：2.诱导公式：函数名不（改）变，符号看象限.22sinsincos1,tancos3.两角和（差）的正弦、余弦、正切公式；4.二倍角正弦、余弦、正切公式sin22sincos2222cos2cossin2cos112sin2122tantantan2222222222222222cos,sinsincos(sincos)cossinsincossincoscossinsin.令abababaxbxababxxabababxxabxxabxsincos5.合一公式(辅助角公式)：能化成一个角的三角函数axbx)10tan31(50sin)10c10sin31(50sinos)10c10sin310c(50sinosos10c40sin50sin2os10c40sin40cos2os110c80sinos有切有弦切化弦见分式通分用辅助角公式观察角的关系2221.cossin,cos,tan.222例试以表示2解：是的二倍角，221coscos12sinsin=.222,即2221coscos2cos1cos.2221costan=.21cos由，得21cossin=22，21coscos.22公式说明:降幂从左到右降幂扩角，也称为降幂公式.1cos1cos.从右到左升幂缩角，故根号下含有或，可考虑逆用公式数1余弦加减连，余弦用加正弦减.4sin,sin,cos,tan52222跟踪练习：已知且，试求的值.cos先求的值，再利用倍角公式的变形公式求半角的三分析：角函数值.24sin,523cos1sin.5.422解：，21cos4sin.22525sin.2521cos1cos.2255cos.25sin2tan2.2cos2例求证（1）＋＋－2.sincossinsinsinsin2si1[()()]2ncos2()22sin1costan21cossin跟踪练习：求证1cos2.1tan2tan2挑战提高：化简xxx2222coscossin22sincos22xxxxx解：原式22cossin1sin2.2cos2xxxx23.()cos2sin,().例已知函数求的单调增区间fxxxfx1cos211()cos2cos2.222xfxxx解：+2k2x2k,kZf(x)kxk,kZ.2当时，为增函数，即f(x)k,k(kZ).2函数的单调增区间为22()sin+2sincos3cos,(1)()().跟踪练习：已知函数求的最大值及取得最大值时的自变量（2）求的单调增区间fxxxxxfxxfx已知函数f(x)＝3sin2x－π6＋2sin2x－π12(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.三角变换，应注意三角函数种类和式子结构特点的变化，分析透彻.找到它们之间的联系，即学会“三看”——看角、看函数名称、看式子结构.