第二节--常数项级数的审敛法(1)

第二节常数项级数的审敛法（1）一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法1.定义10nnnuu如果级数中各项均有，则级数称为正项级数.135(21)n111231n211111333n1(21)nn111nn1113nn例如nsss212.正项级数收敛的充要条件定理1.ns正项级数收敛部分和所成的数列有界即部分和数列为单调增加数列.正项级数的部分和数列满足}{ns单调有界数列必有极限由定理1，正项级数发散,部分和为无穷大.nS11nnnnuv设和均为正项级数，定理2（比较审敛法）大的收，则小的收小的发，则大的发3.正项级数的基本审敛法且(1,2,)nnuvn1nnu1nnv反之，若发散，则发散.1nnv1nnu若收敛,则收敛；证明12nnsuuu且,nnvu,即部分和数列有界，1.nnu收敛nvvv211(1),nnv设nns则(2),nnuv又，1.nnv发散定理证毕.(),nsn1nnu发散，不是有界数列，n11.nnnnvu证收敛收敛()nnukvnN推论1nnv收敛若则1nnu收敛()nnvku(发散).(发散)，且证明,11)1(1nnn11,1nn而级数发散11.(1)nnn级数发散例11)1(1nnn是发散的.证明级数由比较审敛法,解1,p设,11nnp.P则级数发散1,p设oyx)1(1pxyp1234由图:nnppxdxn11pppnns131211nnppxdxxdx1211ppppn14131211(0).p例2的收敛性npxdx11讨论P-级数11nn而发散,11nnpdxsx)11(1111pnp111p,ns即有界.P则级数收敛11,1,pnpPnp当时收敛1级数当时发散重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.31132nn的敛散性？比较审敛法的不便:须有合适的参考级数.311.32nn判断的敛散性333111,323nnn311.32nn由比较判别法，收敛3311323nn不能判定收敛311nn而收敛,定理3（比较审敛法的极限形式）如果则,limlvunnn(1)当时,二级数有相同的敛散性;l011nnnnuv设和均为正项级数，(2)当时，若收敛,则收敛;0l1nnv1nnu时,(3)当若发散,则发散.l1nnv1nnu例3判断故由比较审敛法的极限形式知级数发散.11sinnn的敛散性？11sin1lim10,1nnnnn而发散，331~323nnn1提示：当时，解31132nn解nnnn3131limnnn311lim,111,3nn而收敛故原级数收敛.例4131nnn的敛散性.判定级数例5211ln(1)nn的敛散性.判定级数解221ln(1)lim1nnn,1211,nn而收敛故原级数收敛.2211,ln(1)~nnn证明略1lim()nnnuu数或1nnu设是正项级数,如果1则时级数收敛;1时级数发散;1时失效.定理4（比值审敛法,达朗贝尔D’Alembert判别法)：解)1(!1)!1(11nnuunn11n),(0n11.!nn故级数收敛11(1);!nn1!(2);10nnn11(3).(21)2nnn例6判别下列级数的收敛性:),(n!1010)!1(11nnuunnnn1!.10nnn故级数发散1!(2);10nnn101n由比值审敛法)22()12(2)12(limlim1nnnnuunnnn,1比值审敛法失效,改用比较审敛法,12)12(12nnn211,nn而级数收敛11.2(21)nnn故级数收敛11(3).(21)2nnn比值审敛法的优点:不必找参考级数.两点注意:11,nn例级数发散211,nn级数收敛)1(1.当1时比值审敛法失效;2(1)3,22nnnnnuv例112(1),2nnnnnu级数收敛112(1),2(2(1))nnnnnuau但,61lim2nna,23lim12nna1limlim.nnnnnuau不存在2.条件是充分的,而非必要.11,nnn例如nnnnnu1n101,故级数收敛.定理5（根值审敛法，柯西判别法)：nnnulim()为数或1nnu设是正项级数,如果则1时级数收敛;1时级数发散;1时失效.()n思考题1nnu12nnu设正项级数收敛,能否推得反之是否成立?收敛?思考题解答nnnuu2limnnulim0由比较审敛法知收敛.12nnu反之不成立.例如：121nn收敛,11nn发散.1nnu12nnu由正项级数收敛,可以推得收敛.作业习题11-2p.2061.(1);(2);(5);2.(3);(4);3.(1);(2);(4);4.(1);(4);(6).