2012高三一轮总复习 理科数学 第二章第三节 函数的单调性

课前知识预习菜单课时知能评估高考考向探究课堂热点精讲隐藏2012·优化探究·新课标高三总复习·配人教A数学(理)山东金太阳书业有限公司一、函数的单调性1．单调函数的定义课前知识预习菜单课时知能评估高考考向探究课堂热点精讲隐藏2012·优化探究·新课标高三总复习·配人教A数学(理)山东金太阳书业有限公司2.单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，叫做f(x)的单调区间．二、函数的最值增函数减函数区间D课前知识预习菜单课时知能评估高考考向探究课堂热点精讲隐藏2012·优化探究·新课标高三总复习·配人教A数学(理)山东金太阳书业有限公司1．下列函数中，在区间(0,1)上为增函数的是()A．y＝tanxB．y＝1xC．y＝2－xD．y＝－x2－4x＋1解析：结合函数图象知：选项B、C、D中函数在区间(0,1)上都是减函数，只有选项A中函数在(0,1)上是增函数，故选A.答案：A课前知识预习菜单课时知能评估高考考向探究课堂热点精讲隐藏2012·优化探究·新课标高三总复习·配人教A数学(理)山东金太阳书业有限公司2．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是()A．a≤－3B．a≥－3C．a≤3D．a≥3解析：x对＝1－a，由在(－∞，4]上是减函数，故1－a≥4.∴a≤－3.答案：A课前知识预习菜单课时知能评估高考考向探究课堂热点精讲隐藏2012·优化探究·新课标高三总复习·配人教A数学(理)山东金太阳书业有限公司3．函数y＝5－4x－x2的递增区间是()A．(－∞，－2)B．[－5，－2]C．[－2,1]D．[1，＋∞)解析：由5－4x－x2≥0，得函数的定义域为{x|－5≤x≤1}．∵y＝5－4x－x2＝－(x2＋4x＋4)＋9＝－(x＋2)2＋9，对称轴方程为x＝－2，抛物线开口向下，∴函数的递增区间为[－5，－2]．答案：B课前知识预习菜单课时知能评估高考考向探究课堂热点精讲隐藏2012·优化探究·新课标高三总复习·配人教A数学(理)山东金太阳书业有限公司4．若f(x)为R上的减函数，则满足f(1－a)f(2a2)的实数a的取值范围是________．解析：∵f(x)在R为减函数，∴1－a2a2，即2a2＋a－10.∴－1a12.答案：(－1，12)课前知识预习菜单课时知能评估高考考向探究课堂热点精讲隐藏2012·优化探究·新课标高三总复习·配人教A数学(理)山东金太阳书业有限公司5．若f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝a＋1－2ax＋2在(－2，＋∞)是增函数，∴1－2a0，即a12.答案：(12，＋∞)课前知识预习菜单课时知能评估高考考向探究课堂热点精讲隐藏2012·优化探究·新课标高三总复习·配人教A数学(理)山东金太阳书业有限公司函数单调性的确定判断函数f(x)＝ex＋e－x在区间(0，＋∞)上的单调性．[自主解答]解法一设0x1x2，则f(x1)－f(x2)＝ex1＋e－x1－ex2－e－x2＝(ex2－ex1)(1ex1＋x2－1)，∵0x1x2，∴ex2－ex10，又e1，x1＋x20，∴ex1＋x21，故1ex1＋x2－10，∴f(x1)－f(x2)0，由单调函数的定义知函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数．解法二对f(x)＝ex＋e－x求导得f′(x)＝ex－e－x，∵x0∴ex1,0e－x1∴f′(x)0在(0，＋∞)恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数．课前知识预习菜单课时知能评估高考考向探究课堂热点精讲隐藏2012·优化探究·新课标高三总复习·配人教A数学(理)山东金太阳书业有限公司课前知识预习菜单课时知能评估高考考向探究课堂热点精讲隐藏2012·优化探究·新课标高三总复习·配人教A数学(理)山东金太阳书业有限公司1．已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x1，x2满足f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋2，当x0时，有f(x)－2.求证：f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．证明：设x1x2，则Δx＝x2－x10，令x2＝Δx＋x1.则f(x2)－f(x1)＝f(Δx＋x1)－f(x1)＝f(Δx)＋f(x1)＋2－f(x1)＝f(Δx)＋2.∵Δx0，∴f(Δx)－2.∴f(Δx)＋20，即f(x2)－f(x1)0.∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．课前知识预习菜单课时知能评估高考考向探究课堂热点精讲隐藏2012·优化探究·新课标高三总复习·配人教A数学(理)山东金太阳书业有限公司求函数的单调区间求下列函数的单调区间．(1)y＝－x2＋2|x|＋3；(2)y＝x＋9x(x0)．[自主解答](1)∵y＝－x2＋2|x|＋3＝－x2＋2x＋3x≥0－x2－2x＋3x0，即y＝－x－12＋4x≥0－x＋12＋4x0.由图知，单调递增区间是(－∞，－1)和[0,1]．递减区间是(－1,0)和(1，＋∞)．课前知识预习菜单课时知能评估高考考向探究课堂热点精讲隐藏2012·优化探究·新课标高三总复习·配人教A数学(理)山东金太阳书业有限公司(2)y′＝1－9x2＝x2－9x2＝x－3x＋3x2，令y′≥0，即：(x－3)(x＋3)≥0得：x≥3或x≤－3(舍去)，∴单调递增区间为[3，＋∞)．令y′0即(x－3)(x＋3)0，又x0，得：0x3，∴单调递减区间为(0,3)．课前知识预习菜单课时知能评估高考考向探究课堂热点精讲隐藏2012·优化探究·新课标高三总复习·配人教A数学(理)山东金太阳书业有限公司2．定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)()A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数解析：∵f(x)＝f(2－x)，∴f(x＋1)＝f(1－x)．∴x＝1为函数f(x)的一条对称轴．又f(x＋2)＝f[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)，∴2是函数f(x)的一个周期．根据已知条件画出函数简图的一部分，如右：由图象可以看出，在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．课前知识预习菜单课时知能评估高考考向探究课堂热点精讲隐藏2012·优化探究·新课标高三总复习·配人教A数学(理)山东金太阳书业有限公司单调性的应用(12分)已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．[思路流程]课前知识预习菜单课时知能评估高考考向探究课堂热点精讲隐藏2012·优化探究·新课标高三总复习·配人教A数学(理)山东金太阳书业有限公司[规范解答](1)解法一∵函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x).……………………………………2分在R上任取x1x2，则x1－x20，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵x0时，f(x)0，而x1－x20，∴f(x1－x2)0，即f(x1)f(x2).…………………………………………………………6分因此f(x)在R上是减函数.……………………………………………7分解法二设x1x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x0时，f(x)0.而x1－x20，∴f(x1－x2)0，即f(x1)f(x2)，……………………6分∴f(x)在R上为减函数.………………………………………………7分(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3).…………9分而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.…………………………11分∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.…………………12分课前知识预习菜单课时知能评估高考考向探究课堂热点精讲隐藏2012·优化探究·新课标高三总复习·配人教A数学(理)山东金太阳书业有限公司课前知识预习菜单课时知能评估高考考向探究课堂热点精讲隐藏2012·优化探究·新课标高三总复习·配人教A数学(理)山东金太阳书业有限公司本例条件若改为“定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)且当x1时f(x)0”，试判断f(x)单调性，并当f(3)＝－1时解不等式f(|x|)－2.[解析]任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1x2则x1x21，由于当x1时，f(x)0.∴f(x1x2)0，即f(x1)－f(x2)0，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，又由f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)得f(93)＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，当x0时，f(|x|)－2得f(x)f(9)，故x9，当x0时，由f(|x|)－2得f(－x)f(9)，∴－x9，故x－9，∴不等式解集为{x|x9或x－9}．课前知识预习菜单课时知能评估高考考向探究课堂热点精讲隐藏2012·优化探究·新课标高三总复习·配人教A数学(理)山东金太阳书业有限公司1．(2010年高考北京卷)给定函数①y＝x12；②y＝log12(x＋1)；③y＝|x－1|；④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：①函数y＝x12在(0，＋∞)上为增函数，②y＝log12(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故在(0,1)上也为减函数，③y＝|x－1|在(0,1)上为减函数，④y＝2x＋1在(－∞，＋∞)上为增函数，故选B.答案：B课前知识预习菜单课时知能评估高考考向探究课堂热点精讲隐藏2012·优化探究·新课标高三总复习·配人教A数学(理)山东金太阳书业有限公司2．(2010年高考广东卷)已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝kf(x＋2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)＝x(x－2)．(1)求f(－1)，f(2.5)的取值；(2)写出f(x)在[－3,3]上的表达式，并讨论函数f(x)在[－3,3]上的单调性；(3)求出f(x)在[－3,3]上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值．解析：(1)f(－1)＝kf(－1＋2)＝kf(1)＝k×1×(1－2)＝－k.∵f(0.5)＝kf(2.5)，∴f(2.5)＝1kf(0.5)＝1k(－34)＝－34k.课前知识预习菜单课时知能评估高考考向探究课堂热点精讲隐藏2012·优化探究·新课标高三总复习·配人教A数学(理)山东金太阳书业有限公司(2)∵f(x)＝x(x－2)，x∈[0,2]，设－2≤x＜0，则0≤x＋22，∴f(x)＝kf(x＋2)＝k(x＋2)(x＋2－2)＝kx(x＋2)．设－3≤x－2，则－1≤x＋2＜0，∴f(x)＝kf(x＋2)＝k2(x＋2)(x＋4)．设2x≤3，则0＜x－2≤1.又∵f(x－2)＝kf(x)，∴f(x)＝1kf(x－2)＝1k(x－2)(x－4)．∴f(x)＝k2x＋2x＋4，－3≤x＜－2，kxx＋2，－2≤x＜0，xx－2，0≤x≤2