五年高考荟萃 第二章 第三节 函数、方程及其应用(09年9月最新更新)

第三节函数、方程及其应用第一部分五年高考荟萃2009年高考题1.（2009福建卷文）若函数fx的零点与422xgxx的零点之差的绝对值不超过0.25，则fx可以是A.41fxxB.2(1)fxxC.1xfxeD.12fxInx答案A解析41fxx的零点为x=41,2(1)fxx的零点为x=1,1xfxe的零点为x=0,12fxInx的零点为x=23.现在我们来估算422xgxx的零点，因为g(0)=-1,g(21)=1,所以g(x)的零点x(0,21),又函数fx的零点与422xgxx的零点之差的绝对值不超过0.25，只有41fxx的零点适合，故选A。2.(2009山东卷文)若函数f(x)=ax-x-a(a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是.答案}1|{aa解析设函数(0,xyaa且1}a和函数yxa,则函数f(x)=ax-x-a(a0且a1)有两个零点,就是函数(0,xyaa且1}a与函数yxa有两个交点,由图象可知当10a时两函数只有一个交点,不符合,当1a时,因为函数(1)xyaa的图象过点(0,1),而直线yxa所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是}1|{aa.【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答3.(2009山东卷理)（本小题满分12分）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。解法一:（1）如图,由题意知AC⊥BC,22400BCx,224(020)400kyxxx其中当102x时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为2249(020)400yxxx（2）2249400yxx,42232232289(2)188(400)'(400)(400)xxxyxxxx,令'0y得422188(400)xx,所以2160x,即410x,当0410x时,422188(400)xx,即'0y所以函数为单调减函数,当4620x时,422188(400)xx,即'0y所以函数为单调增函数.所以当410x时,即当C点到城A的距离为410时,函数2249(020)400yxxx有最小值.解法二:（1）同上.（2）设22,400mxnx,则400mn,49ymn,所以494914911()[13()](1312)40040040016mnnmymnmnmn当且仅当49nmmn即240160nm时取”=”.下面证明函数49400ymm在(0,160)上为减函数,在(160,400)上为增函数.设0m1m2160,则1211224949()400400yymmmmABCx12124499()()400400mmmm211212124()9()(400)(400)mmmmmmmm21121249()[](400)(400)mmmmmm12122112124(400)(400)9()(400)(400)mmmmmmmmmm,因为0m1m2160,所以412(400)(400)mm4×240×2409m1m29×160×160所以121212124(400)(400)90(400)(400)mmmmmmmm,所以12122112124(400)(400)9()0(400)(400)mmmmmmmmmm即12yy函数49400ymm在(0,160)上为减函数.同理,函数49400ymm在(160,400)上为增函数,设160m1m2400,则1211224949()400400yymmmm12122112124(400)(400)9()(400)(400)mmmmmmmmmm因为1600m1m2400,所以412(400)(400)mm4×240×240,9m1m29×160×160所以121212124(400)(400)90(400)(400)mmmmmmmm,所以12122112124(400)(400)9()0(400)(400)mmmmmmmmmm即12yy函数49400ymm在(160,400)上为增函数.所以当m=160即410x时取”=”,函数y有最小值,所以弧上存在一点，当410x时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.5.(2009湖南卷理)（本小题满分13分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)xx万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元。（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解（Ⅰ）设需要新建n个桥墩，(1)1mnxmx，即n=所以(2)mmxxxxxy=f(x)=256n+(n+1)(2+)x=256(-1)+2562256.xmxmx（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2332222561'()(512).22mmfxmxxxx令'()0fx，得32512x，所以x=64当0x64时'()fx0，()fx在区间（0，64）内为减函数；当64640x时，'()fx0.()fx在区间（64，640）内为增函数，所以()fx在x=64处取得最小值，此时，640119.64mnx故需新建9个桥墩才能使y最小。6.（2009年上海卷理）有时可用函数0.115ln,(6)()4.4,(6)4axaxfxxxx描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（*xN），()fx表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。（1）证明当7x时，掌握程度的增加量(1)()fxfx总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,127],(121,133]。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。证明（1）当0.47(1)()(3)(4)xfxfxxx时，而当7x时，函数(3)(4)yxx单调递增，且(3)(4)xx0……..3分故(1)()fxfx单调递减当7x时，掌握程度的增长量(1)()fxfx总是下降……………..6分（2）由题意可知0.1+15ln6aa=0.85……………….9分整理得0.056aea解得0.050.05620.506123.0,123.0(121,127]1eae…….13分由此可知，该学科是乙学科……………..14分7.（2009上海卷文）（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分.有时可用函数0.115ln,6,()4.4,64axaxfxxx　　　　　　描述学习某学科知识的掌握程度.其中x表示某学科知识的学习次数（*xN），()fx表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.（1）证明：当x7时，掌握程度的增长量f（x+1）-f(x)总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121］,(121,127］,(127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.证明（1）当7x时，0.4(1)()(3)(4)fxfxxx而当7x时，函数(3)(4)yxx单调递增，且(3)(4)0xx故函数(1)()fxfx单调递减当7x时，掌握程度的增长量(1)()fxfx总是下降(2)有题意可知0.115ln0.856aa整理得0.056aea解得0.050.05620.506123.0,123.0(121,127]1eae…….13分由此可知，该学科是乙学科……………..14分2005—2008年高考题一、选择题1.（2008年全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（）答案A2.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是（）答案D3.（07广东）客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（）ABCD答案C4.某地一年内的气温()Qt（单位：℃）与时刻t（月份）之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10℃.令C（t）表示的时间段[0，t]的平均气温，C（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（）stOA．stOstOstOB．C．D．答案A解析由图可以发现当t=6时，C(t)=0，排除C；t=12时，C(t)=10，排除D；t在大于6的某一段气温超于10，所以排除B，故选A。二、填空题5.（2006年上海春季2）方程1)12(log3x的解x.答案26.（2007年上海4）方程96370xx的解是．答案7log37.（2006年北京卷14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点()kkkPxy，处，其中11x，11y，当2k≥时，111215551255kkkkkkxxTTkkyyTT，．()Ta表示非负实数a的整数部分，例如(2.6)2T，(0.2)0T．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为；第2008棵树种植点的坐标应为．答案（1，2）（3，402）三、解答题8.（2008年江苏卷17）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A,B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为ykm．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=(rad)，将y表示成的函数关系式；②设OPx(km)，将y表示成x的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水