2015-2016学年高中数学 第二章 平面向量章末归纳总结课件 新人教B版必修4

平面向量第二章章末归纳总结第二章专题研究3知识结构1学后反思2知识结构学后反思1．数学中研究的向量只有大小和方向，与物理中研究的向量不完全一样．如力向量除与大小和方向有关外，还与作用点有关．向量可以分别用有向线段、字母、坐标表示.2．对于向量的线性运算，要掌握向量加法和向量数乘的几何意义，利用向量的加法证明几何中的线段平行、相等等问题，利用向量数乘可以解决线段平行、相等等问题．3．平面向量基本定理是向量坐标表示的理论基础．直角坐标系中与x、y轴方向相同的单位向量是它的一组正交基底，平面上任何一个向量都可以由一对有序实数对(x、y)表示．向量的坐标表示使向量的运算代数化，也为我们提供了解决问题的方法——向量坐标法．同时，也体现了向量与解析几何的联系，用向量方法可以解决解析几何问题．通过向量的学习，体会向量在解析几何中的应用．4．向量的数量积不同于向量的线性运算，因为它的运算结果是数量，而不是向量．向量的数量积与距离、夹角有密切联系，用它可以解决一些涉及距离、夹角的几何度量问题，特别是有关垂直的问题．向量的数量积与两向量的夹角有关，体现了它与三角函数的联系．5．运算律是运算的灵魂．要注意将向量的运算律与数量的运算律类比．当a、b、c两两不平行时，(a·b)c≠a(b·c)．当a·b＝b·c时，不一定有a＝c.但当a＝c时，一定有a·b＝b·c.6．学习本章应注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比．而一维情形下向量的共线条件与二维的平面向量基本定理又可进行纵向类比．专题研究平面向量的基本运算命题方向平面向量的加、减运算已知任意四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：2EF→＝AB→＋DC→.[解析]解法一：如图，在四边形CDEF中，EF→＋FC→＋CD→＋DE→＝0，∴EF→＝－FC→－CD→－DE→＝CF→＋DC→＋ED→.①在四边形ABFE中，EF→＋FB→＋BA→＋AE→＝0，∴EF→＝BF→＋AB→＋EA→.②①＋②，得2EF→＝CF→＋DC→＋ED→＋BF→＋AB→＋EA→＝(CF→＋BF→)＋(ED→＋EA→)＋(AB→＋DC→)．∵E、F分别是AD、BC的中点，∴ED→＋EA→＝0，CF→＋BF→＝0.∴2EF→＝AB→＋DC→.解法二：如图，在平面内取点O，连接AO、EO、DO、CO、FO、BO，则EF→＝EO→＋OF→＝EA→＋AO→＋OB→＋BF→，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴DE→＝EA→，BF→＝FC→.∴2EF→＝EA→＋AO→＋OB→＋BF→＋EA→＋AO→＋OB→＋BF→＝DE→＋AO→＋OB→＋FC→＋EA→＋AO→＋OB→＋BF→＝(AO→＋OB→)＋(DA→＋AO→＋OB→＋BC→)＝AB→＋(DO→＋OC→)＝AB→＋DC→.命题方向向量的线性运算如图所示，在△ABC中，点D和E分别在边BC和AC上，且BD＝13BC，CE＝13CA，AD与BE交于点R，求证：RD＝17AD，RE＝47BE.[解析]选择向量CA→、CB→作为基底．∵A、R、D三点共线，∴存在实数λ，使得RD→＝λAD→，则AR→＝(1－λ)AD→，∴CR→＝CA→＋AR→＝CA→＋(1－λ)AD→＝CA→＋(1－λ)(CD→－CA→)＝λCA→＋(1－λ)CD→＝λCA→＋23(1－λ)CB→①另一方面，∵B、R、E共线，∴存在实数μ，使RE→＝μBE→，则BR→＝(1－μ)BE→，∴CR→＝CB→＋BR→＝CB→＋(1－μ)BE→＝CB→＋(1－μ)(CE→－CB→)＝μCB→＋(1－μ)CE→＝13(1－μ)CA→＋μCB→②由①②得λ＝131－μ231－λ＝μ，解得λ＝17μ＝47.∴RD→＝17AD→，RE→＝47BE→，从而RD＝17AD，RE＝47BE.命题方向求向量的模设0|a|≤2，f(x)＝cos2x－|a|sinx－|b|的最大值为0，最小值为－4，且a与b的夹角为45°，求|a＋b|.[分析]要求|a＋b|需知道|a|，|b|，故可利用函数的最值先确定|a|、|b|的值．平面向量的数量积及应用[解析]f(x)＝1－sin2x－|a|sinx－|b|＝－(sinx＋|a|2)2＋|a|24－|b|＋1.∵0|a|≤2，∴当sinx＝－|a|2时，f(x)取得最大值，即|a|24－|b|＋1＝0.①当sinx＝1时，f(x)取得最小值，即－|a|－|b|＝－4.②由①②，得|a|＝2|b|＝2.∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×2×2cos45°＋22＝8＋42，∴|a＋b|＝22＋2.命题方向求向量的夹角已知a、b都是非零向量，若－3a＋b与5a＋7b垂直，16a＋11b与2a－7b垂直，试求a与b的夹角．.[解析]∵－3a＋b与5a＋7b垂直，∴(－3a＋b)·(5a＋7b)＝0.∴－15a2－16a·b＋7b2＝0，①同理由16a＋11b与2a－7b垂直，得32a2－90a·b－77b2＝0，②由11×①＋②，得－133a2－266a·b＝0，∴a·b＝－12a2，③将③代入①，得a2＝b2，∴|a|＝|b|.∴cosa，b＝a·b|a||b|＝a·b|a|2＝a·ba2＝－12.又∵a，b∈[0°，180°]，∴a，b＝120°.数学思想方法命题方向数形结合思想已知a、b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a＋b|，求a与a－b的夹角．[解析]如图，作OA→＝a，OB→＝b，以OA、OB为邻边作▱OACB，则OC→＝a＋b，BA→＝a－b.由|a|＝|b|＝|a＋b|，知OA＝OB＝OC＝AC＝BC，故四边形OACB为菱形，△OBC为等边三角形．∵BA平分∠OBC，且∠OBC＝60°，∴∠CBA＝30°.又∵a与a－b的夹角为BC→与BA→的夹角∠CBA，∴a与a－b的夹角为30°.命题方向转化与化归思想已知点O、N在△ABC所在平面内，且|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，NA→＋NB→＋NC→＝0，则点O、N、P依次是△ABC的()A．重心、外心B．外心、内心C．外心、重心D．重心、垂心(注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心)[解析]∵|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，即点O到A、B、C三点的距离相等，∴点O为△ABC的外心．如图，设D为BC边的中点，则NB→＋NC→＝2ND→.∵NA→＋NB→＋NC→＝0，∴NA→＋2ND→＝0，∴NA→＝2DN→，又NA→与DN→有公共点N，∴A、D、N三点共线，∴点N在BC边的中线上．[答案]C