《函数的奇偶性》图文课件-人教A版高中数学必修1

函数的奇偶性栏目链接课件使用101教育PPT制作(ppt.101.com)1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．栏目链接题型1判断函数的奇偶性栏目链接例1判断下列函数是否具有奇偶性．(1)f(x)＝x＋x3＋x5；(2)f(x)＝x2＋1；(3)f(x)＝x＋1；(4)f(x)＝x2，x∈[－1，3]．分析：先求定义域，再判断f(－x)与f(x)的关系．解析：(1)函数f(x)＝x＋x3＋x5的定义域为R.当x∈R，－x∈R.∵f(－x)＝－x－x3－x5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)．∴f(x)＝x＋x3＋x5为奇函数．栏目链接(2)函数f(x)＝x2＋1的定义域为R，当x∈R，－x∈R.∵f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，∴f(x)＝x2＋1是偶函数．(3)函数f(x)＝x＋1的定义域是R，当x∈R时，－x∈R，∵f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，x∈R，∴f(x)＝x＋1既不是奇函数，也不是偶函数．(4)因为函数的定义域关于原点不对称，存在3∈[－1，3]，而－3∈/[－1，3]．∴f(x)＝x2，x∈[－1，3]既不是偶函数，也不是奇函数．栏目链接点评：判断函数奇偶性的方法有：(1)定义法．若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．(2)图象法．若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．栏目链接►跟踪训练1．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(2)f(x)＝(x－1)1＋x1－x；(3)f(x)＝1＋x，x＞0，1－x，x＜0.解析：(1)函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称，因为f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)．所以f(x)是奇函数．栏目链接(2)由于1＋x1－x≥0，得－1≤x＜1，其定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．题型2奇偶函数的图像及应用栏目链接例2(1)奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必过点()A．(a，f(－a))B．(－a，f(a))C．(－a，－f(a))D.a，f1a(2)设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f（x）＜0的解集是________________．栏目链接解析：(1)根据奇函数图象的特征：奇函数的图象关于原点对称，知点(a，f(a))在其图象上，则它关于原点的对称点(－a，－f(a))也必在其图象上．(2)由于偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)＜0的解．∵当x∈[0，5]时，f(x)＜0的解为2＜x≤5，所以当x∈[－5，0]时，f(x)＜0的解为－5≤x＜－2.∴f(x)＜0的解集是{x|－5≤x＜－2或2＜x≤5}．答案：(1)C(2){x|－5≤x＜－2或2＜x≤5}点评：已知函数的奇偶性及部分图象，根据对称性可补出另一部分图象．奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反．栏目链接►跟踪训练2．偶函数f(x)(x∈R)满足：f(－4)＝f(1)＝0，且在区间[0，3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，使f(x)＜0的自变量范围是()A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B．(－4，－1)∪(1，4)C．(－∞，－4)∪(－1，0)D．(－∞，－4)∪(－1，0)∪(1，4)解析：根据题目条件，想象函数图象：由图可知，f(x)＜0的取值范围是(－4，－1)∪(1，4)．答案：B栏目链接题型3利用函数的奇偶性求函数的解析式例3已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，求当x∈(0，＋∞)时，f(x)的表达式．解析：当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，因为x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，所以f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4，因为f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－x－x4.栏目链接点评：解答该类问题的思路：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)．注意，若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0.栏目链接►跟踪训练3．若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x(1－x)，求当x≥0时，函数f(x)的解析式．分析：将x0时，f(x)的解析式转化到x0上，这是解决本题的关键．解析：由f(x)是奇函数，当x0时，f(x)＝－f(－x)＝－{(－x)[1－(－x)]}＝x(1＋x)；当x＝0时，f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0.∴当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．