初二数学上册讲义(第四章 轴对称)

个性化精准辅导体系——初二数学上册同步强化教程第1页，共21页第四章轴对称一、知识体系1、轴对称图形，对称轴：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。说明：轴对称图形是一个完整图形，它被对称轴分成的两部分完全相同；轴对称图形的对称轴可以是___条，也可以是___条，甚至是条。2、两个图形成轴对称：对于两个图形，如果沿着某条直线折叠两个图形能够完全重合，那么这两个图形成轴对称，这条直线就是，折叠后_相互重合的点_是对应点，叫做对称点。说明：成轴对称的前提是__必须有两个图形。两个图形成轴对称，则对应线段相等，对应角相等。3、轴对称的性质：性质1：成轴对称的两个图形全等（对应线段、对应角相等）。性质2：如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。4、线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。5、线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上6、作轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。作轴对称图形，关键是作出对称点。7、对称与坐标的关系：关于x轴对称的点：坐标不变，坐标互为相反数；关于y轴对称的点：_____坐标不变，______坐标互为相反数。8、等腰三角形知识点关键构造全等三角形的方法等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。顶角与底角关系边的多解分析构造等腰三角形的方法①平行线构造②三线合一的构造③截长补短法等腰三角形的性质：⑴等边对等角；⑵“三线合一”底边上中线、高、顶角平分线是常用辅助线等腰三角形的判定：⑴证明两边相等；⑵等角对等边个性化精准辅导体系——初二数学上册同步强化教程第2页，共21页等边三角形的性质⑴三边相等；⑵三个角都相等；⑶每一个角都等于60°由60°角猜想30°角的直角三角形与等边三角形的关系构造等边三角形的方法①60°角构造②120°角构造等边三角形的判定：⑴定义；⑵三个角都相等的三角形；⑶有一个角是60°的等腰三角形9、含30°角的直角三角形的重要结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。二、解题方法1、对称的应用当已知条件中出现了等腰三角形﹑角平分线﹑高（或垂线），或求几条折线段的最小值等情况时,通常考虑作轴对称变换,以“补齐”图形,集中条件.2、等腰三角形的判定证明一个三角形是等腰三角形的基本方法:⑴从定义入手,证明一个三角形有两条边相等;⑵从角入手,证明一个三角形有两个角相等,依据是等腰三角形判定定理;等角对等边.3、构造等腰三角形的常用方法⑴角平分线+平行线=等腰三角形⑵角平分线+垂线(或高)=等腰三角形⑶线段中垂线构造等腰三角形⑷将2倍角转化为相等角构造等腰三角形⑴⑵⑶⑷三、例题分析【例1】如图,将一个直角三角形纸片ABC(∠ACB=90°),沿线段CD折叠,使点B落在B1处,若∠ACB1=70°,则∠ACD=()A.30°B.20°C.15°D.10°个性化精准辅导体系——初二数学上册同步强化教程第3页，共21页【例2】如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,EF是AD的垂直平分线,E为垂足,EF交BC的延长线于点F,求证:∠B=∠CAF.【变式题组】1.如图,点D在△ABC的BC边上,且BC=BD+AD,则点D在______的垂直平分线上.2.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠C=15°,DE⊥AC于E,且AE=EC,若AB=3cm,则DC=_______cm。3.如图,在△ABC中,∠BAC=126°,DE,FG分别为AB,AC的垂直平分线,则∠EAG=________.4.△ABC中,AB=AC,AB边的垂直平分线交AC于F,若AB=12cm,△BCF的周长为20cm,则△ABC的周长是_________cm.第1题图第2题图第3题图【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，D在BC的上，且AD=BD，AC=CD，求∠B的度数。个性化精准辅导体系——初二数学上册同步强化教程第4页，共21页【变式题组】1、如图所示，△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB上，BD=BC，AD=DE=BE，求∠A的度数。2、如图,在△ABC中,AB=AC,BD=BC,AD=DE=EB,求∠A的度数.3、如图,在△ABC中,AB=AC,BC=BD=ED=EA.求∠A的大小.个性化精准辅导体系——初二数学上册同步强化教程第5页，共21页【例5】如图，△ABD为等边三角形，∠BCA=60°，求证：AC=BC+CD【例6】如图，已知△ABC中，∠A=90°，CA=AB，CE⊥EB于E，BE平分∠CBA交EB于D.求证：BD=2CE。【例7】已知坐标原点O在点A(2,-2),B是坐标轴上的一点.若△AOB是等腰三角形,则这样的点B一共有()个A、4B、5C、6D、8【变式题组】1.在平面直角坐标系xOy内,已知A(3,-3),点P是y轴上一点,则使△AOP为等腰三角形的点P共有()A.2个B.3个C.4个D.5个2.如图,已知长方形纸片ABCD,点E是AB的中点,点G是BC上的一点,∠BEG＞60°,现沿直线EG将纸片折叠,使点B落在纸片中的点H处,连接AH,则与∠BEG相等的角的个数为（）A.4B.3C.2D.1AEDCB个性化精准辅导体系——初二数学上册同步强化教程第6页，共21页3.如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=43，点E是折线段A－D－C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点，在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）A.2个B.3个C.4个D.5个【例8】在两个全等的含30°﹑60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E﹑A﹑C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME﹑MC.试判断△EMC的形状，并说明理由.【变式题组】2.如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°,D为BC的中点，DE⊥AB垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于C⑴求证:AD⊥CF;⑵连接AF,试判断△ACF的形状,并说明理由.个性化精准辅导体系——初二数学上册同步强化教程第7页，共21页【基础演练】一、选择题1．下列图案是轴对称图形的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个2．将写有字“B”的字条正对镜面，则镜中出现的会是（）A、B、C、D、3．下列英文字母属于轴对称图形的是（）（A）N（B）S（C）H（D）F4．下列图形中对称轴最多的是（）（A）圆（B）正方形（C）等腰三角形（D）线段5．下列说法正确的是（）A、等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B、顶角相等的两个等腰三角形全等C、等腰三角形一边不可以是另一边的二倍D、等腰三角形的两个底角相等6．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8cm，AB=10cm，则△EBC的周长为（）A、16cmB、28cmC、26cmD、18cm7．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（）A、50°或80°B、80°C、50°D、20°或80°8.束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0）则光线从A点到B点经过的路线长是（）A、4B、5C、6D、79．等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是（）（A）40°（B）100°（C）40°或100°（D）70°或50°10．若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（）A、75°或15°B、75°C、15°D、75°和30°11、下列命题中真命题的个数是（）。①如果等腰三角形内一点到底边两端距离相等，那么过这个点与顶点的直线必垂直于底边；②如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段，那么延长线段的两个端点与顶点的距离相等；③等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等；④等腰三角形高上一点到底边的两端点的距离相等。EDABC第6题B个性化精准辅导体系——初二数学上册同步强化教程第8页，共21页第2题AEBCDA、1个B、2个C、3个D、4个12、在平面直角坐标系xoy中，已知（2，-2），在y轴确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合重要条件的点有（）。A、2个B、3个C、4个D、5个13、已知A（2，3），其关于x轴的对称点是B，B关于y轴对称点是C，那么相当于将A经过（）的平移到了C。A、向左平移4个单位，再向上平移6个单位。B、向左平移4个单位，再向下平移6个单位。C、向右平移4个单位，再向上平移6个单位。D、向下平移6个单位，再向右平移4个单位。14、已知P（x，y）的坐标满足等式（x-2）2+|y-1|=0,且点P与P′（x′,y′）关于y轴对称，则x′，y′的对应值为（）A、-2，1B、2，-1C、2，1D、-2，-115、桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有（）个.A、1B、2C、4D、616、下列语句中正确的有（）句.①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧.A、1B、2C、3D、417、已知∠AOB=30°,点P在∠AOB内部,P1与P关于OB对称,P2与P关于OA对称,则P1,O,P2三点构成的三角形是()A、直角三角形B、钝角三角形C、等腰三角形D、等边三角形二、填空题1、已知△ABC是轴对称图形，且三条高的交点恰好是C点，则△ABC的形状是。2、如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形有________个.3、如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC第3题ABDCE个性化精准辅导体系——初二数学上册同步强化教程第9页，共21页的周长为_________.4、已知点A（a，-2）和B（3，b）当满足条件时，点A和点B关于y轴对称。5、已知A（m,-n），则A到x轴距离为，到y轴距离为。与点A（3，4）关于x轴对称点的坐标为，关于y轴对称点的坐标为。6、已知A（2，b），B（a,-4），若A，B关于x轴对称，那么a，b为和；若AB∥x轴，那么a，b；若AB∥y轴，那么a，b。7、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：（1）BD平分∠ABC；（2）AD=BD=BC；（3）△BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC中点。其中正确的命题序号是。三、作图题1、如图，A、B是两个蓄水池，都在河岸a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站M，将河水送到A、B两地，问该站M建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，（1）作出AB边的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连接BD；（2）下列结论正确的是：①BD平分∠ABC；②AD=BD=BC；③△BDC的周长等于AB+BC；④D点是AC中点；3、如图14-9所示，已知△ABC和直线MN.求作：△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于直线MN对称.（不要求写作法，只保留作图痕迹）（第7题）CBDEAaABACB个性化精准辅导体系——初二数学上册同步强化教程第10页，共21页4、(1)如图所示编号为1、2、3、4的四个三角形中，关于y轴对称的两个三角形的编号为；关于坐标原点O对称的两个三角形的编号为；(2)在图4中，画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1四、解答题1、如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站P，分别向A、B两个开发区运货。（1）若要求货站到A、B两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？（2）若要求货站到A、B两个开发区的距离和最小，那么货站应建在那里？（分别在图上找出点P，并保留作图痕迹，写出相应的文字说明.）2、如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，