偶函数教案

函数奇偶性教案授课班级高一243班授课时间2012.09.17课型概念新授课课题§1.3.2奇偶性第1课时偶函数教学目标1、理解偶函数的概念，学会应用函数图像理解和研究偶函数的性质，学会判断一个函数是否是偶函数。2、通过偶函数概念的形成过程，培养学生观察、归纳、概括能力，渗透数形结合的数学思想。3、通过偶函数的教学，培养学生从特殊到一般的概括、归纳问题的能力。重点偶函数的概念及其偶函数的性质难点判断一个函数是否是偶函数教具黑板、粉笔、三角板教学方法启发性探究法板书设计：§1.3.2奇偶性偶函数一、偶函数若函数f(x)的定义域关于原点对称，且对任意xI,都有f(x)=f(-x)，那么称函数f(x)为偶函数二、偶函数的性质Ⅰ、恒等式f(x)=f(-x)=f(x)Ⅱ、函数图像关于y轴对称Ⅲ、如果具有单调性，则在对称区间上的单调性相反例1（1）函数f(x)=x2(x[-1,5])是偶函数吗？（2）函数f(x)=x2(x[-1,1])是偶函数吗？解：（1）∵定义域[-1,5]不关于原点对称∴函数f(x)=x2(x[-1,5])不是偶函数（2）∵定义域关于原点对称且对任意x[-1,1]，都有f(-x)=（-x）2=x2=f(x)∴函数f(x)=x2(x[-1,1])是偶函数例2已知二次函数f(x)=x2-2mx+4是偶函数，求实数m的值？解：∵二次函数f(x)=x2-2mx+4的定义域为R∴f(-1)=（-1）2-2m×（-1）+4=5+2mf(1)=12-2m×1+4=5-2m又∵函数f(x)是偶函数∴f(-1)=f(1)即5+2m=5-2m故m=0教学环节教师活动学生活动设计说明复习引入前面我们学习了函数的单调性，它是反映函数在定义域的某个区间上函数值随自变量的变化而变化的性质，这节课我们继续研究函数的另一重要性质——奇偶性。回忆前面学习的函数单调性的相关知识，找到本节课要学习的奇偶性。帮助学生回顾旧知，从而引出新知。讲授新课先看课本33页的图1.3-7第一个函数图像是一条抛物线，是二次函数对应的函数图像，可设函数解析式为f(x)=ax2+bx+c,由表格知图像过点（-1,1）（0,0）（1,1），从而可以确定函数解析式为f(x)=x2同理，可以确定第二个函数图像对应的解析式，这就是根据函数图像确定函数解析式。另外，抛物线沿y轴折叠，两边的图像能够完全重合，即函数图像关于y轴对称。但是，这只是我们的感性认识，学习数学就要学会把感性的东西上升到理性，如何用函数解析式来描述图像的这一特征呢？再次观察图像，发现其定义域关于原点对称，像这样定义域关于原点对称，且对任意xI,都有f(x)=f(-x)的函数就是偶函数。下面给出偶函数的概念。注意：偶函数概念中的定义域关于原点对称是关键。要判断一个函数是否是偶函数，要看两点：下面我们来研究一下偶函数的性质通过前面的研究我们发现，偶函数的一个重要性质f(x)=f(-x)，即自变量互为相反数时函数值相等，亦即自变量的正负不影响函数值，故将套上绝对值不影响函数值。由前面的分析知道，偶函数的函数图像关于y轴对称。在图像上任取一点A(x,f(x)),A点关于y轴的对称点为B(-x,f(-x))。因为关于y轴对称的点，横坐标互为相反数纵坐标相等，所以有f(x)=f(-x)，即对任意xI,都有f(x)=f(-x)，而函数图像是由无数个这样的点组成的，所以“函数图像关于y轴对称”用数学符号语言描述就是“对任意xI,都有f(x)=f(-x)”偶函数：若函数f(x)的定义域关于原点对称，且对任意xI,都有f(x)=f(-x)，那么称函数f(x)为偶函数。⑴定义域是否关于原点对称⑵是否对任意xI,都有f(x)=f(-x)偶函数的性质：Ⅰ、恒等式f(x)=f(-x)=f(x)（此等式在赋值、绝对值变形以及符号调节等问题中应用广泛）Ⅱ、函数图像关于y轴对称利用函数图象及其对应的表格确定函数的解析式是对旧知识的回顾。观察函数图象，并归纳函数的性质，是对学生观察、概括能力的一种提高。总结偶函数的概念及其偶函数的性质是对学生综合能力的提高，另外由学生与老师一起总结可以使学生对这些知识加深印象。讲授新课观察图1.3-7得到二次函数f(x)=x2在区间（-∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增，而（-∞，0）与（0，+∞）放在轴上是关于原点对称的，我称（-∞，0）与（0，+∞）为对称区间。于是得出偶函数的一条重要性质。写出（-1,0）的对称区间写出（1,2）的对称区间写出（a,b）的对称区间Ⅲ、单调性如果偶函数具有单调性，则在对称区间上的单调性相反（-1,0）的对称区间为(0,1)（1,2）的对称区间为(-2,-1)（a,b）的对称区间为(-b,-a)例题讲解例1（1）函数f(x)=x2(x[-1,5])是偶函数吗？（2）函数f(x)=x2(x[-1,1])是偶函数吗？再次强调，判断一个函数是否是偶函数要看两点：⑴定义域是否关于原点对称⑵是否对任意xI,都有f(x)=f(-x)例2已知函数f(x)=x2-2mx+4是偶函数，求实数m的值？分析：此题中出现的函数是一个含有参数m的函数,并且要求参数m的值，此类题要对自变量赋值，并且所赋的值互为相反数，再利用偶函数的恒等式得到关于的方程，从而求出m的值。解：（1）∵定义域[-1,5]不关于原点对称∴函数f(x)=x2(x[-1,5])不是偶函数（2）∵定义域关于原点对称且对任意x[-1,1]，都有f(-x)=（-x）2=x2=f(x)∴函数f(x)=x2(x[-1,1])是偶函数解：函数f(x)=x2-2mx+4的定义域为Rf(-1)=（-1）2-2m×（-1）+4=5+2mf(1)=12-2m×1+4=5-2m∵函数f(x)是偶函数∴f(-1)=f(1)即5+2m=5-2m故m=0这两个例题是对偶函数的简单应用，例1的目的是提醒学生注意判断一个函数是否是偶函数要看两点。例2主要是对偶函数性质的应用，涉及到赋值的问题，学生也比较陌生。课堂小结本节课我们重点学习了偶函数及其偶函数的性质。偶函数的概念是什么？偶函数具有哪些性质？本节课的学习主要应用了哪些数学思想方法？若函数f(x)的定义域关于原点对称且对xI,都有f(x)=f(-x)，则称函数f(x)为偶函数Ⅰ、恒等式f(x)=f(-x)=f(x)Ⅱ、函数图像关于y轴对称Ⅲ、如果具有单调性，则在对称区间上的单调性相反数形结合、特殊到一般再次带领学生重复本节课的重点知识，使学生对这些知识加深印象。布置作业1、判断函数f(x)=x4+x2是否是偶函数？2、函数y=f(x)(x[-1,a])是偶函数，求a的值？记下老师布置的作业，并在课后完成。检查学生对本节课所学内容的掌握情况