整式的乘法复习与测试

第14章整式的乘法复习与测试知识网络归纳22222()(,,)()()()():()()()2mnmnmnmnnnnaaaaamnabababmabmambmnabmambnanbababababaabb特殊的=幂的运算法则为正整数，可为一个单项式或一个式项式单项式单项式单项式多项式:多项式多项式：整式的乘法平方差公式　　乘法公式完全平方公式：互逆22222()():2()abababaabbab因式分解的意义提公因式法因式分解因式分解的方法平方差公式:运用公式法完全平方公式因式分解的步骤难点讲解：（2）正确处理运算中的“符号”，避免以下错误，如：等；例5【点评】由（1）、（2）可知互为相反数的同偶次幂相等；互为相反数的同奇次幂仍互为相反数．3、下列各式计算正确的是（）A、66322babaB、5252babaC、124341baabD、462239131baba12、1333mm的值是（）A、1B、－1C、0D、13m整式的乘法11、xybayxa233因式分解为。（6）737355322aaa(6)12a2b(x－y)－4ab(y－x)(－7m－11n)(11n－7m)=____________________；⑸___,__________)2)(2(yxxy⑶)1)(1(xyxy______________________)2(_________,__________)3(22baba_________________________)2(__,__________)()(222yxbaba2234226.004.0)2.0(nmnmmmnm(－4x－y)(－5x＋2y)＝__________．(2)(x＋2)(x＋3)－(x＋6)(x－1)2、求(a＋b)2－(a－b)2－4ab的值，其中a＝2002，b＝2001．2．化简()()()abcbcacab的结果是（）专题综合讲解专题一巧用乘法公式或幂的运算简化计算方法1逆用幂的三条运算法则简化计算（幂的运算是整式乘法的重要基础，必须灵活运用，尤其是其逆向运用。）例1(1)计算：1996199631()(3)103。(2)已知3×9m×27m＝321，求m的值。(3)已知x2n＝4，求(3x3n)2－4(x2)2n的值。思路分析：(1)3131031103103，只有逆用积的乘方的运算性质，才能使运算简便。(2)相等的两个幂，如果其底数相同，则其指数相等，据此可列方程求解。(3)此题关键在于将待求式(3x3n)2－4(x2)2n用含x2n的代数式表示，利用(xm)n＝(xn)m这一性质加以转化。解：(1)19961996199619963131()(3)(3)(1)1103103.(2)因为3×9m×27m＝3×(32)m×(33)m＝3·32m·33m＝31＋5m，所以31＋5m＝321。所以1＋5m＝21，所以m＝4.(3)(3x3n)2－4(x2)2n＝9(x3n)2－4(x2)2n＝9(x2n)3－4(x2n)2＝9×43－4×42＝512。3、已知：693273mm，求m.方法2巧用乘法公式简化计算。例2计算：2481511111(1)(1)(1)(1)22222.思路分析：在进行多项式乘法运算时，应先观察给出的算式是否符合或可转化成某公式的形式，如果符合则应用公式计算，若不符合则运用多项式乘法法则计算。观察本题容易发现缺少因式1(1)2，如果能通过恒等变形构造一个因式1(1)2，则运用平方差公式就会迎刃而解。解：原式＝248151111112(1)(1)(1)(1)(1)222222＝224815111112(1)(1)(1)(1)22222＝4481511112(1)(1)(1)2222＝88151112(1)(1)222＝1615112(1)22＝16151515111122222222.点评：巧妙添补21(1)2，构造平方差公式是解题关键。方法3将条件或结论巧妙变形，运用公式分解因式化简计算。例3计算：20030022－2003021×2003023原式＝20030022－(2003002－1)(2003002＋1)＝20030022－(20030022－1)＝20030022－20030022＋1＝1点评：此例通过把2003021化成(2003023－1)，把2003023化成(2003022＋1)，从而可以运用平方差公式得到(20030222－1)，使计算大大简化。由此可见乘法公式与因式分解在数值计算中有很重要的巧妙作用，注意不断总结积累经验。例4已知(x＋y)2＝1，(x－y)2＝49，求x2＋y2与xy的值。解法1：x2＋y2＝22()()1492522xyxy.22()()1491244xyxyxy.解法2：由(x＋y)2＝1得x2＋2xy＋y2＝1.①由(x－y)2＝49得x2＋y2－2xy＝49.②①－②得4xy＝－48，所以xy＝－12.点评：解决本题关键是如何由(x＋y)2、(x－y)2表示出x2＋y2和xy，显然都要从完全平方公式中找突破口。以上两种解法，解法1更简单。专题二整式乘法和因式分解在求代数式值中的应用（格式的问题）方法1先将求值式化简，再代入求值。例1先化简，再求值。(a－2b)2＋(a－b)(a＋b)－2(a－3b)(a－b)，其中a＝12，b＝－3.思路分析：本题是一个含有整式乘方、乘法、加减混合运算的代数式，根据特点灵活选用相应的公式或法则是解题的关键。解：原式＝a2－4ab＋4b2＋a2－b2－2(a2－4ab＋3b2)＝2a2－4ab＋3b2－2a2＋8ab－6b2＝4ab－3b2。当a＝12，b＝－3时，原式＝4×12×(－3)－3×(－3)2＝－6－27＝－33.点评：(1)本题要分沮是否可用公式计算。(2)本题综合应用了完全平方公式、平方差公式及多项式乘法法则。(3)显然，先化简再求值比直接代入求值要简便得多。方法2整体代入求值。）例2当代数式a＋b的值为3时，代数式2a＋2b＋1的值是（）A、5B、6C、7D、8解析：2a＋2b＋1＝2(a＋b)＋1＝2×3＋1＝7，故选C。点评：这里运用了“整体思想”，这是常用的一种重要数学方法。练习1：、若代数式1322aa的值为6，则代数式5962aa的值为.5、已知;，012aa求1999223aa的值5、已知3)()1(2yxxx，求xyyx222的值综合题型讲解题型一学科内综合(一)数学思想方法在本章中的应用1、从特殊到一般的认识规律和方法在探索幂的运算法则时，都是从几个特殊例子出发，再推出法则。如：从以下几个特殊的例子a2·a3＝23aaaaa个个＝a5＝a2＋3，a4·a6＝46aaaaaaaaaa个个＝a10＝a4＋6，推广到am·an＝mnaaaaaa个个＝am+n。从而得到法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”。2、化归思想即将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题，这是初中数学中最常用的思想方法，如在本章中，单项式乘以单项式可转化为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式都可转化为单项式乘以单项式，即多×多转化多×单转化单×单。还有：如比较420与1510的大小，通常也是将要比较的两个数化为．．底数相同或指数相同的形式，再进行比较，即420＝(42)10＝1610，1610＞1510，所以420＞1510。3、逆向变换的方法（不讲）在进行有些整式乘法运算时，逆用公式可使计算简便。这样的例子很多，前边已举了一些，这里再举一例。例：20022003200220025577()1.4()()7755200257777()175555.还有把乘法公式反过来就得出因式分解的公式等。4、整体代换的方法（在幂与乘法，及因式分解中）此方法的最典型应用表现于乘法公式中，公式中的字母a、b不仅可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式，在因式分解3a(m－2)＋4b(m－2)中，可把m－2看作一个整体，提公因式m－2，即原式＝(m－2)(3a＋4b)。(二)与其他知识的综合(方程，不等式，面积的)（举例）例1（与方程综合）一个长方形的长增加4cm，宽减少1cm，面积保持不变；长减少2cm，宽增加1cm，面积仍保持不变。求这个长方形的面积。解：设这个长方形的长为acm，宽为bcm，由题意得(4)(1),(2)(1),abababab即440,220.abab解得8,3.ab因为ab＝8×3＝24，所以这个长方形面积为24cm2。点评：本题是一道多项式乘以多项式和列二元一次方程组解应用题的综合题。4、解不等式1)3)(3()2(2yyy题型二学科间的综合例2生物课上老师讲到农作的需要的肥料主要有氮、磷、钾三种，现有某种复合肥共50千克，分别含氮23%、磷11%、钾6%，求此种肥料共含有肥料多少千克？解：50×23%＋50×11%＋50×6%＝50（23%＋11%＋6%）＝50×40%＝20.答：复合肥共含有肥料20千克。题型三拓展、创新、实践（整除问题）例3（拓展创新题）248－1可以被60和70之间某两个数整除，求这两个数。思路分析：由248－1＝(224)2－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)×(64＋1)(64－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)×65×63，所以这两个数是65和63。点评：本题是因式分解在整除问题中的应用。同步测试一、填空题1、(－a)2·(－a)3＝，(－x)·x2·(－x4)＝，(xy2)2＝.2、(－2×105)2×1021＝，(－3xy2)2·(－2x2y)＝.3、计算：(－8)2004(－0.125)2003＝，22005－22004＝.4、计算：(m－n)3·(m－n)2·(n－m)＝，(3＋a)(1－a)＝，(a＋2)(a－2)(4＋a2)＝，(m＋n－1)(m－n－1)＝.5、xn＝5，yn＝3，则(xy)2n＝，若2x＝m，2y＝n，则8x+y＝.6、若A＝3x－2，B＝1－2x，C＝－5x，则A·B＋A·C＝.7、不等式(x＋16)(x＋4)＞(x＋12)2的解集是.8、比较25180，64120，8190的大小用“＜”号联.9、把下列各式分解因式：(1)a2n－2a2n－1＝；(2)14x2－x＋1＝；(3)m－m5＝；(4)(1－x)＋(x－1)3＝.10、在多项式16a2＋4上加上一个单项式，使其成为一个整式的平方，该单项式是.11、四个连续自然数中，已知两个大数的积与其余两个数的积的差等于58，则这四个数的和是.12、如图(1)的面积可以用来解释(2a)2＝4a2，那么根据图(2)，可以用来解释（写出一个符合要求的代数恒等式）。二、选择题13、下列各式中，正确的是（）A、m2·m3＝m6B、(－a＋b)(b－a)＝a2－b2C、25a2－2b2＝(5a＋2b)(5a－2b)D、(x－y)(x2＋xy＋y2)＝x3－y314、与(x2＋x＋1)(x－1)的积等于x6－1的多项式是（）A、x2－1B、x3－1C、x2＋1D、x3＋115、已知5x＝3，5y＝4，则25x+y的