程佩青《数字信号处理教程(第三版)》课后习题答案

3数字信号处理教程课后习题及答案4目录第一章离散时间信号与系统第二章Z变换第三章离散傅立叶变换第四章快速傅立叶变换第五章数字滤波器的基本结构第六章无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法第七章有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计方法第八章数字信号处理中有限字长效应5第一章离散时间信号与系统1.直接计算下面两个序列的卷积和)n(h*)n(x)n(y=请用公式表示。分析：①注意卷积和公式中求和式中是哑变量m（n看作参量），结果)(ny中变量是n,;)()()()()(∑∑∞−∞=∞−∞=−=−=mmmnxmhmnhmxny②分为四步（1）翻褶（-m），（2）移位（n）,（3）相乘，;)()(4nynnyn值的，如此可求得所有值的）相加，求得一个（③围的不同的不同时间段上求和范一定要注意某些题中在n000,01()0,,()0,nnnanNhnnnnxnnnβ−⎧≤≤−=⎨⎩⎧≤⎪=⎨⎪⎩其他6如此题所示，因而要分段求解。2.已知线性移不变系统的输入为)n(x,系统的单位抽样响应为)n(h,试求系统的输出)n(y,并画图。)(5.0)(,)1(2)()4()(5.0)(,)2()()3()()(,)()()2()()(,)()()1(3435nunhnunxnRnhnnxnRnhnRnxnRnhnnxnnn=−−==−=====δδ分析：①如果是因果序列)(ny可表示成)(ny={)0(y，)1(y，)2(y……}，例如小题（2）为)(ny={1，2，3，3，2，1};②)()(*)(,)()(*)(mnxnxmnnxnxn−=−=δδ;③卷积和求解时，n的分段处理。()∑∑∑+−=+−=−−+===−=−+≥nNnmmnnnNnmmnnmnnmmnhmxnyNnn111N-000)()()(,1)3(αββααβ全重叠时当()()()()βααβαβαβαββααβαβαβ==≠−−=−−=−−−+++−−,)(,1000111nnNNnNnnNnnnNny∑∞−∞=−==mmnhmxnhnxny)()()(*)()(:解0)()1(0=nynn时当,1)2(00部分重叠时当−+≤≤Nnnn()∑∑∑==−−===−=nnmmnnnnmmnnmnnmmnhmxny00000)()()(αββααβ()()βαβαβαβααβαβαβ≠−−=−−=−+−++−,10000111nnnnnnnn())(,1)(00βαα=−+=−nnnynn73.已知10,)1()(−−=−anuanhn，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为)(nh的线性移不变系统的阶跃响应。4.判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()()()n313sin()()()873cos()()(ππππ−==−=njenxcAnxbnAnxa分析：序列为)cos()(0ψω+=nAnx或)sin()(0ψω+=nAnx时，不一定是周期序列，①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；)()(*)()()1(5nRnhnxny==解：}1,2,3,3,2,1{)(*)()()2(==nhnxny)2(5.0)(5.0*)2()()3(323−=−=−nRnRnnynnδ)(5.0)()1(2)()4(nunhnunxnn=−−=nmmmnnyn−−−∞=−⋅==≥∑23125.0)(01当nmnmmnnyn23425.0)(1⋅==−≤∑−∞=−当aaanynaaanynnhnxnyanuanhnunxmmnnmmn−==−−==−≤=−−==∑∑−−∞=−−−∞=−−1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解8②；为为互素的整数）则周期、（有理数当,20QQPQP=ωπ③当=0/2ωπ无理数，则)(nx不是周期序列。。周期为是周期的解：14,31473/2/2)873cos()()(0∴==−=ππωπππnAnxa。是周期的，周期是6136313/2/2)313sin()()(0∴===ππωππnAnxb是非周期的。是无理数∴=−−=−+−==−12/26sin6cos)6sin()6cos()()(0)6(Tnjnnjnenxcnjπωππππ5.设系统差分方程为:)()1()(nxnayny+−=其中)(nx为输入,)(ny为输出。当边界条件选为0)1()2(0)0()1(=−=yy试判断系统是否是线性的?是否是移不变的?分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型（例如因果序列、反因果序列等），则递推求解必须向两个方向进行（n≥0及n0）。0)2()1()2(0)1()0()1(0))()1()()()()(0)0((1):11111111111=+==+=+−===xayyxayyninxnaynynnxay处递推，向按，设，时解δ┇93111211111111111111111)]2()2([1)3()]1()1([1)2()]0()0([1)1()]1()1([1)()1()()1(0)0,0)(0)()1()(−−−−=−−−=−−=−−−=−−=−=−+−+=++=+≥=∴=+−=axyayaxyayaxyaynxnyanynxnaynyniinnynxnayny因而则变换处递推，将原方程加以向┇)1()(),))]1()1([1)(1111−−−=−=+−+=nuanyiiianxnyanynn可知：综上axayyxayynxnaynyninnxb=+==+=+−=−=)2()1()2(1)1()0()1()()1()(0))1()()(222222222按，处递推向设δ┇0)]1()1([1)2(0)]0()0([1)1()]1()1([1)()(0)1,)()()1()(2222222222121222=−−−=−=−=−+−+=≥=∴=+−=−−xyayxyaynxnyanynyniinanyanxnaynynn按变换后的，处递推向┇变系统。条件下，系统不是移不以在不是移一位的关系，所与是移一位的关系，但与结果可知，由　可得：综上２0)0()()()()()(,)()1()()),0)]1()1([1)(1212222=−==+−+=−ynynynxnxbanuanyiiinxnyanyn102333333333)3()2()3()2()1()2(1)1()0()1(0))1()()()axayyaxayyxayyninnnxc=+==+==+=−+=处递推向设δδ┇23331333131333)]1()1([1)2()]0()0([1)1(0)1,)()()1()(−−−−−=−−−=−−=−=−≥=∴=+−=axyayaxyayniinanyanxnaynynn处递推向┇条件下是线性系统。所给系统在可得：综上0)0()()()1()1()()),1,)]1()1([1)(2113333=∴+=−−−−=−≤−=+−+=−ynynynuanuanyiiinanxnyanynnn6.试判断:是否是线性系统?并判断(2),(3)是否是移不变系统?分析：利用定义来证明线性：满足可加性和比例性，)]([)]([)]()([22112211nxTanxTanxanxaT+=+移不变性：输入与输出的移位应相同T[x(n-m)]=y(n-m)。∑−∞==nmmxny)()()1(解：()[]()∑−∞===nmmxnxTny111)(()()[]()mxnxTnynm∑−∞===222()()()()[]∑−∞=+=+nmnbxmaxnbynay212111()()[]()()[]∑−∞=+=+nmnbxnaxnbxnaxT2121()()[]()()nbynaynbxnaxT2121+=+系统是线性系统∴()[]2)()2(nxny=解：()[]()[]2111)(nxnxTny==()()[]()[]2222nxnxTny==()()()[]()[]212121nbxnaxnbynay+=+()()[]()()[]()[]()[]()()()()[]()()nbynaynbxnaxTnxnabxnbxnaxnbxnaxnbxnaxT2121212221221212+≠+++=+=+即()[]()[]()()[]()[]()系统是移不变的即∴−=−−=−−=−mnymnxTmnxmnymnxmnxT22系统不是线性系统∴127.试判断以下每一系统是否是(1)线性,(2)移不变的？)(0nnk)]([(4))()]([)3()()]([(2))()()]([)1(0nxenxTnnxnxTkxnxTnxngnxT=−===∑=分析：注意：T[x(n)]=g(n)x(n)这一类表达式，若输入移位m,则有x(n)移位变成x(n-m),而g(n)并不移位，但y（n）移位m则x（n）和g(n)均要移位m。()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=792sin)()3(ππnxny解：()())792sin()()792sin()(2121ππππ+++=+nbxnaxnbynay()()[][]()()[]()()nbynaynbxnaxTnbxnaxnbxnaxT21212121)792sin()()(+=+++=+即有ππ系统是线性系统∴()[]()()()()()()[]()系统是移不变的即∴−=−+−=−+−=−mnymnxTmnxmnymnxmnxT792sin792sinππππ()()792sin)(11ππ+=nxny()()792sin)(22ππ+=nxny13[][])]([)]([)()()()()]()()[()()()()()()1(21212121nxbTnxaTnbxngnaxngnbxnaxngnbxnaxTnxngnxT+=×+×=+=+=解：[][]系统是线性系统。解：∴+=+=+=+=∑∑∑∑====)]([)]([)()()]()([)()()()()2(212121021000nxbTnxaTkxbkxakbxkaxnbxnaxTkxnxTnnknnknnknnk系统是线性系统。∴()[]()()()()[]()系统不是移不变的。即∴−≠−−−=−−=−mnymnxTmnxmngmnymnxngmnxT)()(()[]()()[]()系统是移不变的。即∴−=−=−=−−−mnymnxTemnyemnxTmnxmnx)()(14()[]()()()()()[]()系统不是移不变的。即∴−≠−=−=−=−∑∑∑−=−−==mnymnxTkxmnykxmkxmnxTmnnkmnmnknnk0008.以下序列是系统的单位抽样响应)(nh,试说明系统是否是(1)因果的,(2)稳定的？)4()7()1(3.0)6()(3.0)5()(3)4()(3)3()(!1)2()(1)1(2+−−−nnunununununnunnnnnδ分析：注意：0！=1，已知LSI系统的单位抽样响应，可用∞=∑∞−∞=Mnhn)(来判断稳定性，用h（n）=0，n0来判断因果性。不稳定。是因果的。时当解：∴∞⇒++=∴=•••∑∞−∞=,1101|)(|,0)(,0)1(22nnhnhn[][])]([)]([)()()()()()()3(210201210nxbTnxaTnnbxnnaxnbxnaxTnnxnxT+=−+−=+−=解：15稳定。！！！是因果的。时，当∴=+++++++++=+++=∴=•••••••••∑∞−∞=3814121111*2*311*2111211101|)(|,0)(0)2(nnhnhn不稳定。是因果的。时，当∴∞⇒+++=∴=•••∑∞−∞=210333|)(|,0)(0)3(nnhnhn稳定。是非因果的。时，当∴=+++=∴≠•••−−∞−∞=∑23333|)(|,0)(0)4(210nnhnhn系统是稳定的。系统是因果的。时，当∴=+++=∴=•••∑∞−∞=7103.03.03.0|)(|,0)(0)5