塑性力学5

第5章塑性力学塑性本构变形ChinaUNIVERSITYofMining&Technology第五章塑性本构关系§5.1弹性本构关系§5.2Drucker公设§5.3加载、卸载准则§5.4增量理论（流动理论）§5.5全量理论（形变理论）§5.6岩土力学中的Coulomb屈服条件和流动法则塑性力学本构关系§5.1弹性本构关系在弹性阶段，材料的本构关系即广义Hooke定律：,,)(1,,)(1,,)(1GEGEGExyxyyxzzzxzxxzyyyzyzzyxx张量写法：ijmijijEG32其中)1(2/EG其中kkm31（5-1）（5-2）为平均正应力。本构关系将三个正应变相加，得：kkkkmkkkkEEG2132（5-3）)21(3/EK记：平均正应变kkm31体积弹性模量则平均正应力与平均正应变的关系：mmK3（5-4）ijijsGe21（5-5）（5-2）式用可用应力偏量和应变偏量表示为ijsije包含5个独立方程（5-2）本构关系由（5-5）2221212121JGssGeeIijijijijG3由等效应力和等效应变的关系：或G可得：ijijes32（5-8）mmijijKeGsd3dd2d当应力从加载面（后继屈服面）卸载时，应力和应变的全量不满足广义Hooke定律，但它们的增量仍满足广义Hooke定律。（5-9）本构关系eeVijijmmijmijijmijijijeWWesesW2123))((21212226121212121GGJGWeMises屈服条件的物理解释中将弹性应变能分解为体积应变能和形状改变比能。这里，由弹性本构关系将三者表示为：本构关系§5.2Drucker公设两类力学量外变量：能直接从外部可以观测得到的量。如总应变，应力等。内变量：不能直接从外部观测的量。如塑性应变，塑性功等。内变量只能根据一定的假设计算出来。关于塑性应变和塑性功的假设：1、材料的塑性行为与时间，温度无关。2、应变可分解为弹性应变和塑性应变。pijeijij3、材料的弹性变形规律不因塑性变形而改变。无关。唯一确定，与塑性应变由即弹性应变pijijeij本构关系根据以上假设，内变量可以由外变量表示出来。pijijij、对于各向同性材料：)321(ijmijijeijijpijEG（5-12）这样，内变量也可以由外变量表示出来。pWijW、pepijijeijijpijijeijijijijWWddddW21将总功分解为弹性功和塑性功。对于各向同性材料：2294121mijijpijijepEG（5-13）（5-14）本构关系Drucker公设:对于处于在某一状态下的材料质点（或试件），借助一个外部作用，在其原有的应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在这附加应力的施加和卸除的循环内，外部作用所做的功是非负的。oijijijijd单元体在应力状态下处于平衡。oij在单元体上施加一附加力，使应力达到，刚好在加载面上，即开始发生塑性变形。ij继续加载至，在这期间，将产生塑性应变。ijijdpijd最后，将应力又卸回到。完成应力循环。oij应力循环的过程：图5-1本构关系0210pijijijijDddW）（以表示应力循环过程中任一时刻的瞬时应力状态。ij按Drucker公设，附加应力在应力循环中所作的功非负。）（0ijij000ijijijijDdW）（（5-17）在应力循环中，应力在弹性应变上的功为0，即000ijeijijijDdW）（（5-18）故（5-17）式写成000ijeijijijDdW）（（5-19）在整个应力循环中，只在应力从到的过程中产生塑性应变。ijijijdijd当为小量时，上述积分变为：（5-20）这就是图5-1所示的阴影部分面积。本构关系两个重要的不等式：当处于加载面的内部，即，由于是高阶小量，则oijoijijijd0)(0pijijijd（5-20）oij当正处于加载面上，即，则oijij（5-21）0pijijdd由此可对屈服面形状与塑性应变增量的特性导出两个重要的结论。1、屈服曲面的外凸性。2、塑性应变增量向量与加载面的外法线方向一致——正交性法则。当处于加载面上，Drucker公设导致的（5-21）通常叫作Drucker稳定性条件。oij本构关系1、屈服曲面的外凸性。oA0ApdoA0Apd图中，A0和A分别表示应力状态和。向量代表。0ijijAA0pd用表示。pijd则（5-20）为00pdAA（5-22）可见，应力增量向量与塑性应变增量向量之间的夹角必须小于900AA0pd屈服曲面必须是凸的。如果屈服面是凹的，则5-22式不满足。本构关系2、塑性应变增量向量与加载面的外法线方向一致——正交性法则。A0Apdnn——加载面在A点的外法向。如果与n不重合，则总可以找到A0，使5-22式不成立。pd因此，必须与加载面的外法线重合。pd00的外法线方向即其梯度方向。pijd可表示为：ijpijdd（5-23）本构关系§5.3加载、卸载准则Drucker稳定性条件：0ddpσ0dnσpd由于与外法线n同向，上式改写成：只有当应力增量指向加载面外部时，材料才能产生塑性变形。（5-25）（5-26）判断能否产生新的塑性变形，需判断：ijd0（1）是否在上。ijd0（2）是否指向的外部。加卸载准则加载：指材料产生新的塑性变形的应力改变。卸载：指材料产生从塑性状态回到弹性状态的应力改变。本构关系一、理想材料的加卸载准则加载0,0)(ijijijdfdff理想材料的加载面与初始屈服面是一样的。由于屈服面不能扩大，所以当应力点达到屈服面上，应力增量不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切线。d0fnd加载d卸载弹性状态,0)(ijf卸载0,0)(ijijijdfdffnlnmd加载d加载d卸载对于Tresca屈服面：00mldfdf或加载00mldfdf且卸载本构关系二、强化材料的加载、卸载准则强化材料的加载面在应力空间不断扩张或移动。卸载中性变载加载0,00,00,0ijijijijijijddd0nd中性变载d卸载d加载这里，中性变载相当于应力点沿加载面切向变化，应力维持在塑性状态但加载面并不扩张的情况。本构关系§5.4增量理论（流动理论）一、概述塑性本构关系——材料超过弹性范围之后的本构关系。此时，应力与应变之间不存在一一对应的关系，只能建立应力增量与应变增量之间的关系。这种用增量形式表示的塑性本构关系，称为增量理论或流动理论。进入塑性阶段后，应变增量可以分解为弹性部分和塑性部分。由Hooke定律，ijmijeijdEGdd32pijeijijddd由Drucker公设，ijpijdd（5-30）（5-31）（5-32）本构关系进入塑性阶段后，应变增量可以分解为弹性部分和塑性部分。由Hooke定律，ijmijeijdEGdd32pijeijijddd由Drucker公设，ijpijdd（5-30）（5-31）给出了塑性应变增量与加载函数之间的关系。pijd流动法则（5-32）将（5-31）、（5-32）代入（5-30）得：增量形式的塑性本构关系：ijijmijijddEGdd32（5-33）本构关系塑性位势理论将塑性应变增量表示为塑性位势函数对应力取微商。ijpijgdd（5-34）其中是塑性位势函数。)(ijgg两种情况：1、服从Drucker公设的材料，塑性势函数g就是加载函数φ，即，此时（5-34）式称为与加载条件相关连的流动法则。g由于加载面和塑性应变增量正交，也称为正交流动法则。2、当加载面和塑性应变增量不正交，此时（5-34）式称为与加载条件非关连的流动法则。主要用于岩土材料。g本构关系二、理想塑性材料与Mises条件相关联的流动法则对于理想塑性材料，屈服函数f就是加载函数φ。流动法则写成：ijpijfdd（5-35）Mises屈服条件：022sJf有ijijijijssJJf22故理想塑性材料与Mises条件相关连的流动法则为：ijpijsdd（5-36）本构关系1、理想弹塑性材料按照广义Hooke定律求得弹性应变增量，再与（5-36）式所得的塑性应变增量叠加，就得到理想弹塑性材料的增量本构关系)375(0,,0,0,,,0,21,2122222222JdJJdJJddEvdsddsGdessskkkkijijij当或当——Prandtl-Reuss关系对理想塑性材料，比例系数要联系屈服条件来确定。dpeijijijdWdWdJJdGsddsGsdw22221)21(本构关系peijijijdWdWdJJdGsddsGsdw22221)21(Mises屈服条件,3222ssJ此时,,0pedWdWdW因而2222322spsppdWdWJdWd可见，给定应力和应变增量时从Prandtl-Reuss关系可以求出及应力增量。ijijddijijdds和但反过来，如果给定的是则定不出，也就求不出。,ijijd和dijd给定应力求不出应变增量，这正反映出理想塑性材料的特点。（5-38）由于塑性变形消耗功，所以，则。0pdW0d本构关系2、理想刚塑性材料——Levy-Mises关系当塑性应变增量比弹性应变增量大得多时，可略去弹性应变增量，从而得到适用于理想刚塑性材料的Levy-Mises关系ijijsdd（5-39）此式表明应变增量张量与应力偏张量成比例，也可以写成zxzxyzyzxyxyzzzyyyxxxsdsdsdsdsdsd（5-40）如果（5-40）的后三个分式的分母为零，则其分子必须同时为零。这说明Levy-Mises关系要求应变增量张量的主轴与主应力轴重合。本构关系在（5-39）式中，给定ijs后不能确定ijd，但反之却可由ijd确定ijs如下：,)(212122ijijijijdddssJ利用Mises屈服条件,3222ssJ可以得到ssijijddJddd23222将（5-41）式代回（5-39）式，可求出ddddddsijsijsijij322dddWssp对于刚塑性材料pdWdW将（5-38）式与（5-41）式加以比较就发现：（5-41）（5-44）（5-45）本构关系3、实验验证理想塑性材料与Mises条件相关连的流动法则：ijpijsdd对应于π平面上，与二向量在由坐标原点发出的同一条射线上。pdSLode（1926）采用薄壁圆管受轴力和内压同时作用的实验。实验中使用的参数：pppppddddddsssssp313123131222实验表明，大致相等，2的主轴方向相差不到与ij