19有理数与无理数

1谈谈有理数与无理数实数通常分为有理数和无理数两类。这两类数的性质，对于九年义务教育阶段的初中学生来说，知道得较少。本文试图对初中数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。关于有理数，我们知道得较多，其特征有：1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数；2、每个有理数都可以写成分数的形式，即nm，其中m和n都是整数，且n≠0。利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。我们不加证明地给出关于有理数的一条结论：当有理数nm的分母n能分解质因数为2α×5β（其中α、β为自然数）时，有理数nm能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。（关于有理数与小数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述）无理数是指那些无限不循环小数。大家熟悉的无理数很多，2、e、π等等都是。与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。譬如，两个无理数的四则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，22=1。根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用：1、任何有理数≠任何无理数；2、设是a有理数，b是无理数，则a+b，a-b，a·b（a≠0），a/b（a≠0）都是无理数。下面着重介绍实数无理性的判定方法。在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算有关，如2，311；与对数值有关，如log23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e（自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数和无理数的关系，α就是有理数，故α=nm（n≠0），于是就得到一个具体的等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。下面我们介绍几种常见的初等方法，主要适用于前三类无理数的判定。一、利用整数的性质整数特别是整数的奇偶性在判定实数的无理性方面起着重要的作用。2例1求证：6是无理数。证明：反证法。设6是有理数，则6=nm（nm为既约分数）。将两边平方并整理，得6n2=m2，（1）由于6n2是偶数，因此m2是偶数，从而m是偶数，设m=2k，代入（1）式，得6n2=4k2，（2）化简得3n2=2k2。同理3n2也是偶数，而3是奇数，所以n是偶数。这与原假设nm为既约分数矛盾。故6是无理数。请证明：2+3是无理数。二、利用算术基本定理算术基本定理是数论中的重要定理，它不仅在数论而且在其它数学问题中都有着广泛的应用。有时它也被称作整数的唯一分解定理，内容如下：对于任意的自然数N（N≠0，1），它总可以唯一地分解成一些质数相乘的形式。即N=p1p2…ps，其中p1、p2、…、ps都是质数，并且p1≤p2≤…≤ps。例2求证：2是无理数。证明：反证法。设2是有理数，则2=nm（其中m和n都是自然数）。将两边平方并整理，得2n2=m2。（1）由于m和n都是自然数，则根据算术基本定理，它们都可以分解为质数的乘积，设m=p1p2…ps，n=q1q2…qt其中每一个p和q都是质数。代入（1）式，得2（q1q2…qt）2=（p1p2…ps）2，（2）由于2也是质数，故（2）式的左右两边均是一些质数的乘积，并且结果都是自然数，既然相等，那么左右两边质数个数应该相同。但这是不可能的，因为（2）式左边共有2t+1个质数，而右边却是2s个质数，奇数不可能等偶数。说明我们假设2是有理数是错误的。故2是无理数。从以上的证明过程可以发现，2的作用就在于它是一个质数，这样可以推想：对于任意的质数p，p都是无理数。与根式有关的无理数还有很多，基本上都有可以利用算术基本定理解决。下面的两个问题更具有一般性。问题1若n，N均是自然数（n≠0，1），而且nN不是整数，则nN是无理数。3问题2幂函数y=nx（n＞1的自然数），当x取无理数时，y值必为无理数；而仅当x表成既约正分数的分子和分母均是整数的n次完全乘方数时，y值才是有理数。请证明：10是无理数。例3求证：log221是无理数。证明：反证法。设log221是有理数，即log221=nm（其中m和n都是自然数）。由对数定义，得nm2=21，两边n次方，得2m=21n，由于21=3·7，则2m=3n·7n。显然这个等式是不能成立的，因为2，3，7都是质数，这样等式左右两边出现的质因数不相同，这与算术基本定理矛盾。故log221是无理数。关于对数值的无理性有以下结果：设a，b均为正整数，并且其中之一包含的某个质因数不为另一个所包含，则logab是无理数。三、利用整系数方程有理根的性质在一元多项式方程的理论中，有一个关于整系数一元方程是否有有理根的重要定理，即设一元k次方程为n0xk+n1xk-1+…+nk-1x+nk=0（*）其中n0，n1，…nk-1，nk均是整数，这样的方程称为整系数方程。如果nm（n≠0）是方程（*）的一个有理数根，则（1）m一定是nk的约数；（2）n一定是n0的约数。在利用这个定理判定实数α的无理性时，需有以下三个步骤：（1）构造一个整系数多项式方程，使得α是它的根；（2）求出n0和nk的所有因数，只有它们的组合才能是方程的有理根；（3）检验这些组合是否为方程的根，于是或者方程没有有理数根，而α是方程的根，故α为无理数；或者方程有有理数根，但经比较这些有理根都与α不相等，从而α为无理数。例4求证：cos20°是无理数。证明：讨论三角函数值的无理性时，三角函数公式起着非常重要的作用。首先注意到余弦函数的三倍角公式，即cos3θ=4cos3θ-3cosθ，将θ=20°代入公式，有cos60°=4cos320°-3cos20°，由于cos60°=21，则有21=4cos320°-3cos20°，整理，得8cos320°-6cos20°-1=0，（1）这说明cos20°是整系数方程8x3-6x-1=0的根。由定理方程（1）若有有理4根nm，则m一定是-1的因数，n是8的因数，从而nm只可能是±1，±21，±41，±81，逐一检验可知，它们均不满足方程（1），故方程（1）只可能有无理根，即cos20°是无理数。请证明：32-3是无理数。四、利用“有理数不等于无理数”这一基本性质例5设m和n是两个正有理数，并且m和n都是无理数。求证：m+n是无理数。证明：首先我们知道有（m+n）（m-n）=m-n（1）和（m+n）+（m-n）=2m（2）设m+n是有理数。则由（1）式，得m-n=nmnm，由于m+n是有理数，m-n也是有理数，则根据有理数的性质，m-n也必是有理数；进一步由（2）式，得（m+n）+（m-n）=2m是有理数，这显然与已知m是无理数矛盾。故m+n是无理数。由以上证明可以看出：m+n和m-n的有理性无理性是相同的。作为特例有2+3和2-3都是无理数。一般地，请证明：2+3+…+n（n是大于1的自然数）是无理数。例6求证：若有有理数a，b，c使得a+b2+c3=0（1）成立，则a=b=c=0。证明：反证法。分情况讨论如下：i)a，b，c中只有一个不为0。当a≠0，b=c=0时，有a=0，矛盾；当b≠0，a=c=0时，有b2=0，矛盾；当c≠0，a=b=0时，有c3=0，矛盾。5ii)a，b，c中恰有两个不为0。当a=0，b，c≠0时，有有理数bc=-32，易证-32是无理数，矛盾；当b=0，a，c≠0时，有有理数ca=-3，矛盾；当c=0，a，b≠0时，有有理数ba=-2，矛盾。iii)a，b，c全不为0。那么（1）式可变形为a+b2=-c3（2）将（2）式两边平方，得（a+b2）2=（-c3）2，整理为a2+22ab+2b2=3c2,将2用a，b，c表示，有2=abbac223222（3）（3）式左边是一个无理数；由于a，b，c均为不为0的有理数，从而右边是一个有理数，出现“无理数=有理数”的情形，矛盾。综上述，待证结论正确。作为结束，我们再给出一个是无理数的例子。例7求证：无限小数A=0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）是无理数。证明：反证法。若A是有理数，则它必是无限循环小数。设其循环节的长度为t，显然t≠1。一方面，根据A的构造，102t+1一定出现在A的某一位置上，即在A中有一个包含2t+1个0的片断，而在这个片断中至少包含一个循环节。而另一方面，A的循环节内不可能每个数字都是0。此矛盾说明A是一个无理数。一般地，可证明：无限小数bccbccbcbaAcscs个个121.(a，b，c为数字，b≠c，s为大于0的自然数，相邻两个b之间c的个数逐次加s)是无理数。请证明：无限小数B=0.12345678910111213…（小数部分由相继的正整数组成）是无理数。最后请论证sin1°也是无理数。