特级教师讲稿(解析几何)

主讲：湖北省襄阳市第一中学王勇（特级教师）灵宝讲义文理通用高考201120122013★1.（2011年新课标高考理7）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于,AB两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）.2A.3B.2C.3D【解析】设双曲线的标准方程为222210,0xyabab，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为:lxc或xc，代入22221xyab得2422221cbybaa，2bya，故22bABa.依题意得2222222222,2,12bbcaaeaaa，3e.故选B.【点评】本题考查对双曲线的几何性质的理解与应用，考查运算求解能力及逻辑思维能力.2011年（理科：2小1大；文科：2小1大.完全不同）★2.（2011年新课标高考理14）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点12,FF在x轴上，离心率为22.过1F的直线l交C于,AB两点，且2ABF的周长为16，那么C的方程为_________________.【点评】本题考查对椭圆离心率的理解、椭圆定义的应用等基础知识，同时考查运算求解能力及数形结合思想.【解析】如图，设椭圆方程为22221xyab，由22e知22ca，故2212ba.①由于2ABF的周长为221212416ABBFAFAFAFBFBFa，故4a.②由①②解得28b.椭圆C的方程为221168xy.★3.（2011年新课标高考理20）在平面直角坐标系xOy中，已知点0,1A，B点在直线3y上，M点满足//,MBOAMAABMBBA，M点的轨迹为曲线C.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值.【解析】（Ⅰ）设,Mxy，由已知得,3Bx，又0,1A，所以,1,0,3,,2MAxyMByABx.再由题意可知0MAMBAB，即,42,20xyx.所以曲线C的方程为2124yx.（Ⅱ）设00,Pxy为曲线21:24Cyx上一点.因为12yx，所以l的斜率为012x.因此直线l的方程为00012yyxxx，即2000220xxyyx.所以O点到l的距离2002024yxdx.又200124yx，所以202022001414242244xdxxx.当00x时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算、曲线方程的求法、导数的几何意义、点到直线的距离公式及基本不等式等基础知识，考查运算求解能力及利用所学知识分析问题、解决问题的能力.●1.（2011年新课标高考文4）椭圆221168xy的离心率为（）1.3A1.2B3.3C2.2D【解析】在椭圆221168xy中，2216,8ab，2228cab，22242cea.故选.D【点评】本题考查椭圆离心率的求法，求解时应注意椭圆标准方程222210xyabab中222cab.●2.（2011年新课标高考文9）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于,AB两点，12AB，P为C的准线上一点，则ABP的面积为（）.18A.24B.36C.48D【解析】不妨设抛物线的标准方程为220ypxp，由于直线l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为2px，代入22ypx得yp，即2ABp，又12AB，故6p，所以抛物线的准线方程为3x，故1126362ABPS.故选C.【点评】本题考查对抛物线的几何性质的理解及应用，考查直线与抛物线相交弦长的求法及抛物线标准方程中参数p的几何意义，考查分析问题的能力及运算求解能力.●3.（2011年新课标高考文20）在平面直角坐标系xOy中，曲线261yxx与坐标轴的交点都在圆C上.（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线0xya交于,AB两点，且OAOB，求a的值.【解析】（Ⅰ）曲线261yxx与y轴的交点为0,1，与x轴的交点为322,0,322,0.故可设圆C的圆心为3,t，则有22223122tt，解得1t.则圆C的半径为22313t.所以圆C的方程为22319xy.（Ⅱ）设1122,,,AxyBxy，其坐标满足方程组220,319.xyaxy消去y，得方程22228210xaxaa.由已知可得，判别式2561640aa，且21212214,2aaxxaxx.①由于OAOB，则0OAOB，即12120xxyy.又1122,yxayxa，所以2121220xxaxxa.②由①②得1a，满足0，故1a.【点评】本题考查圆的方程的求法、直线与圆的位置关系的理解与应用，考查解析几何的基本思想与方法，同时考查运算求解能力及分析、解决问题的能力.2012年（理科：2小1大；文科：2小1大.完全相同）★●1.（2012年新课标高考理4文4）设12,FF是椭圆2222:10xyEabab的左，右焦点，P为直线32ax上一点，21FPF是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（）1.2A2.3B3.4C4.5D【解析】如图，因为21FPF是底角为30的等腰三角形，所以122120,60FFPPFM.在2RtMFP中，22123,22FMacPFFFc，且22313sin30,2,224FMcaccePFa.故选.C【点评】本题考查椭圆离心率的求法、解直角三角形等基本知识，考查了数形结合思想及逻辑思维能力.★●2.（2012年新课标高考理8文10）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线216yx的准线交于,AB两点，43AB，则C的实轴长为（）.2A.22B.4C.8D【解析】设等轴双曲线2222:10xyCaaa.抛物线216yx的准线方程为4x，联立22221xyaa和4x容易解得224,16,4,16AaBa.由题意可知221643ABa，解得2a.C的实轴长24a.故选.C【解析】设等轴双曲线2222:10xyCaaa.抛物线216yx的准线方程为4x，联立22221xyaa和4x容易解得224,16,4,16AaBa.由题意可知221643ABa，解得2a.C的实轴长24a.故选.C【点评】本题考查等轴双曲线的标准方程和抛物线的几何性质，考查运算求解能力.最大的“亮点”是将双曲线与抛物线有机组合同时加以考查.★●3.（2012年新课标高考理20文20）设抛物线2:20Cxpyp的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于,BD两点.（Ⅰ）若90,BFDABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；（Ⅱ）若,,ABF三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到,mn距离的比值.注：详解见第三部分第12题.★●1.（2013年新课标Ⅰ高考理4文4）已知双曲线2222:10,0xyCabab的离心率为52，则C的渐近线方程为（）1.4Ayx1.3Byx1.2Cyx.Dyx【解析】由52e，得22551,,222ccabcaaa.而双曲线222210,0xyabab的渐近线方程为byxa，C的渐近线方程为12yx.故选.C【点评】本题考查双曲线的离心率和渐近线.由离心率求字母关系考查分析问题、转化问题的能力，而求渐近线方程则考查知识的应用能力.2013年（理科：2小1大；文科：2小1大.1小1大相同，另1小不同）★2.（2013年新课标Ⅰ高考理10）已知椭圆2222:10xyEabab的右焦点为3,0F，过点F的直线交E于,AB两点.若AB的中点坐标为1,1，则E的方程为（）22.14536xyA22.13627xyB22.12718xyC22.1189xyD【解析】如图，设1122,,,AxyBxy，则2211222222221,1.xyabxyab①②①—②得1212121222xxxxyyyyab，2121221212bxxyyxxayy.由题意可知2121222,2,ABbxxyyka.而22220111,,23122ABbkaba，222222229,18cabbbba.椭圆E的方程为221189xy.故选.D【点评】本题考查椭圆的方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系.考查利用“点差法”求解中点弦所在直线的斜率，考查了运算求解能力和转化应用意识.●3.（2013年新课标Ⅰ高考文8）O为坐标原点，F为抛物线2:42Cyx的焦点，P为C上一点，若42PF，则POF的面积为（）.2A.22B.23C.4D【解析】如图，设00,Pxy，由抛物线的焦半径公式得0242PFx，032x，200042423224,26yxy.0112,0,2262322POFFSOFy.故选.C【点评】本题考查抛物线的焦半径公式，点与曲线的关系以及三角形面积的求法.利用焦半径公式求解抛物线的焦半径考查公式的应用能力和数形结合的思想方法，而点的坐标及三角形面积的求解则考查数据处理能力.★●4.（2013年新课标Ⅰ高考理20文21）已知圆22:11Mxy，圆22:19Nxy，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于,AB两点，当圆P的半径最长时，求AB.注：详解见第三部分第10题.从近三年新课标高考题的特点看，解析几何在高考中的考查基本稳定，其题型是“二小一大”：小题考查圆锥曲线的定义与标准方程，求基本量的值；考查圆锥曲线的几何性质，涉及焦点、对称轴、离心率、抛物线的准线等知识，尤其是圆锥曲线的离心率；大题考查以直线与圆锥曲线为载体，和几何图形（如三角形、圆）相结合的综合问题，知识交汇、构题新颖、推理要求高、运算量适中、综合性较强，但难度趋于平稳.预测2014年关于解析几何的命题趋势，仍然是难易结合，考查基本知识与数学能力，有2个小题和1个大题.小题以考查圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质为主，重点考查以三角形等几何图形为背景，求解圆锥曲线中与有关的问题，如长（实）轴长、短（虚）轴长、焦距、离心率、标准方程、双曲线的渐近线方程等.大题主要以椭圆、抛物线为载体，将定义、性质等知识与平面向量、直线、圆巧妙地交汇立意，第一问求曲线（轨迹）的方程，第二问利用图中直线与椭圆或抛物线的位置关系，构建考查众多知识（向量的模与数量积、三角形边角关系与面积、圆的性质与圆的方程、特殊直线的斜率与方程、一元二次方程根的判断式与韦达定理、点到直线的距离等）与重要思想方法（方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想）的新颖综合题型.注意探究性问题、应用性问题、创新性问题等也是高考命题者特别青睐的重要题型.热点一：直线与方程此类试题一般以选择题或填空题的形式出现，难度不大，属于基础题，试题主要考查直线的倾斜角、斜率，直线方程的求法，两条直线平行、垂直的判断或求交点坐标，点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式等.求解过程中要注