3.6静电场的边值问题

3.6静电场的边值问题主要内容电位微分方程，镜像法，分离变量法。1，电位微分方程2，镜像法3，直角坐标系中的分离变量法4，圆柱坐标系中的分离变量法5，球坐标系中的分离变量法1.电位微分方程已知，电位ϕ与电场强度E的关系为对上式两边取散度，得对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E的散度为ϕ−∇=Eϕ2−∇=⋅∇Eερ=⋅∇E那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为ερϕ−=∇2该方程称为泊松方程。上式称为拉普拉斯方程。对于无源区，上式变为02=∇ϕ0=ρ泊松方程的求解。已知分布在V′中的电荷在无限大的自由空间产生的电位为)(r′ρ因此，(1)式是电位微分方程在自由空间的解。VV′′−′=ϕ∫′d||)(π41)(rrrrρε(1)ερϕ−=∇2泊松方程的通解可以应用格林函数来求出泊松方程的通解：),(rr′GSrd)],()()(),([d)(),()(⋅′∇′′−′ϕ∇′′+′′′=ϕ∫∫rrrrrrrrrGGVGSVϕερ式中格林函数对于自由空间具有如下形式),(rr′G||π41),(),(0rrrrrr′−=′=′GG-格林函数与距离成反比；对于无限大的自由空间，表面S趋向无限远处，由于),(0rr′G-dS与距离平方成正比;)(r′ϕ∇′与距离的平方成反比；-电位与距离成反比；)(r′ϕ),(rr′∇′G与距离的平方成反比；所以，对无限远处的S表面，面积分Srd)],()()(),([⋅′∇′′−′ϕ∇′′∫rrrrrGGSϕ为零。于是得出分布在V′中的电荷在无限大的自由空间产生的电位。)(r′ρVV′′−′=∫′d||)(π41)(rrrrρεϕ若V为无源区，那么通解中Srd)],()()(),([d)(),()(⋅′∇′′−′ϕ∇′′+′′′=ϕ∫∫rrrrrrrrrGGVGSVϕερ的体积分为零。由积分解的形式可以看出，电位的边界条件和)(r′ϕ)(r′ϕ∇′是求解静电场电位分布的关键。因此，第二项面积分可以认为是泊松方程在无源区中的解，或者认为是拉普拉斯方程以格林函数表示的积分解。数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值，这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为该方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。通常给定的边界条件有三种类型：第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问题又称为诺依曼问题。第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为狄利克雷问题。对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。可以证明电位微分方程解也是惟一的。证明见3-2节。由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值，因此，解的稳定性具有重要的实际意义。解的惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会发生很大的变化。解的存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的电位值就是第一类边界。因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位，或电位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理。已知导体表面上的电荷密度与电位导数的关系为，可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，给定导体上的电荷就是第二类边界。ερϕSn−=∂∂例已知同轴线的内导体半径为a，电位为V，外导体接地，其内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。0dddd12=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∇rrrrϕϕ21lnCrC+=ϕ求得VbaO解对于这种边值问题，镜像法不适用，只好求解电位方程。为此，选用圆柱坐标系。由于场量仅与坐标r有关，因此，电位所满足的拉普拉斯方程在圆柱坐标系中的展开式只剩下包含变量r的一项，即电位微分方程为利用边界条件：arV==ϕbr==0ϕ⎩⎨⎧=+=+0lnln2121CbCVCaC求得⎟⎠⎞⎜⎝⎛=baVCln1⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=babVClnln2⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛=babrVlnlnϕ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂ϕ∂−=ϕ−∇=baVrrlnrreeE最后求得21lnCrC+=ϕ代入21lnCrC+=ϕ例在球形区域，已知：（1）在r=a的球面边界上；（2）在r=b的球面边界上；（3）在arb之间电荷体密度为0。求arb之间的电位。0ερϕsr−=∂∂0=ϕ解从题意可知，这是求解电位拉普拉斯方程满足第三类混合边值条件的定解问题。由于边界是球面，且边界条件与θ及φ无关，因此选用球坐标系，电位将仅是r的函数。在arb之间电位满足的拉普拉斯方程简化为0)(1222=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∇drrdrdrdrϕϕ此方程的通解为21)(CrCr+=ϕabC1、C2是两个待定的常数，可由电位在两个边界上的值确定。先将通解代人r=a的球面边界，得然后再将通解代人r=b的球面边界，得联立这两个方程组得021ερsaC=baCs022ερ−=将两个常数代人通解中，得到)11(02bras−=ερϕ21)(CrCr+=ϕ021ερsaC−=−arrs=−=∂∂0ερϕ021=+CbCbr==0ϕ例两平行平板导体，相距为d，板的尺寸远大于d，一板电位为0，另一板电位为V0，两板间充满电荷，电荷体密度与距离成正比，即ρ(x)=ρ0x。试求两板间的电位分布（注：x=0处的电位为0）解方程得到通解BAxxx++−=030/61)(ερϕ将两个常数代人通解中，得到xxdxdVx)(6)(22000−+=ερϕ解这是一维电场，电场的分布只与坐标x有关，由此可建立泊松方程及边界条件如下：00222)(ερϕϕxxx−=∂∂=∇00)(==xxϕ0)(Vdxx==ϕddVAB/)61(,03000ρε+==代人边界条件得V00dρ(x)x=0x2.镜像法实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。注意：是点电荷的“集合”.依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。关键：确定镜像电荷的大小及其位置。局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷。（1）点电荷与无限大的导体平面。ε介质导体qrPε介质qrPhhr′q′ε介质以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为ε的空间，则空间任一点P的电位由q及q'共同产生，即rqrq′′+=π4π4εεϕ考虑到无限大导体平面的电位为零，求得qq−=′电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半部分完全相同。由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。电场线等位线z\⊕电荷守恒：当点电荷q位于无限大的导体平面附近时，导体表面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷及导体表面上的感应电荷。半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。3π2RqhEnε=3π2RqhEnf−=−=ερqSqf−==∫d感应ρ可见，上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量，可以根据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个结论。)11(π4rrq′−=ϕε⊕q对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是仅当这种导体劈的夹角等于π的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如，夹角为的导电劈需引入5个镜像电荷。（2×（180/夹角）-1）3π\π/3⊕⊕\\⊕π/3q连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。（2）点电荷与导体球。若导体球接地，导体球的电位为零。rqrq′′+=π4π4εεϕ可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为qrrq′−=′为了等效导体球边界的影响，令镜像点电荷q'位于球心与点电荷q的连线上。那么，球面上任一点电位为fqoPadrq′r′为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值对于球面上任一点均具有同一数值。rr′所以镜像电荷离球心的距离d应为fad2=这样，根据q及q'即可计算球外空间任一点的电场强度。fqOPadrq′r′adfa=由于由图可见，可要求三角形△OPq′与△OqP相似，则为常数。farr=′qfaq−=′由此获知镜像电荷应为qrrq′−=′计算出的电场线（虚线）和等位线（实线）若导体球接地，导体球表面上总的感应电荷应极性相反。若导体球不接地，则位于点电荷一侧的导体球表面上的感应电荷为负值，而另一侧表面上的感应电荷为正值。导体球表面上总的感应电荷应为零值。事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等于零。由q及q‘在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷q“以提供一定的电位。q′′qfOPadrq′r′qq′−=′′对于不接地的导体球，若引入镜像电荷q'后，为了满足电荷守恒原理，必须再引入一个镜像电荷q，且必须令而且，为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷必须位于球心。（思考：等位线的形状是否和以前一样？）ρl-ρl（3）线电荷与带电的导体圆柱。在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d处，平行放置一根镜像线电荷。求d的大小。lρ−rlreEπ2ερ=因此，离线电荷处，以为参考点的电位为r⎟⎠⎞⎜⎝⎛==ϕ∫rrrElrr0lnπ2d0ερPafdrOr′0r已知无限长线电荷产生的电场强度为已知线电荷为ρl，导体圆柱单位长度的电荷量为-ρl。若令镜像线电荷产生的电位也取相同的作为参考点，则及在圆柱面上P点共同产生的电位为lρ−0rlρlρ−ρl-ρlPafdrOr′已知导体圆柱是一个等位体,即是一个常数，因此，为了满足这个边界条件，必须要求比值为常数。rr′fad2=pϕ⎟⎠⎞⎜⎝⎛′=rrllnπ2ερ⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=rrrrllP00lnπ2lnπ2ερερϕ与前同理，可令，由此得adfarr==′可以想象与实际导体圆柱对称位置的右侧，也存在一个圆柱等位面，如上图，则可计算两根平行导线间的电容（P79）。（4）点电荷与无限大的介质平面。Eε1ε1θqr0E'tE′nE′EtEn0r′q'ε2ε2θq0r′′nE′′tE′′Eε1ε2qeten=+为了求解上半空间的场可用镜像电荷q'等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为ε1的均匀空间。对于下半空间，可用位于原点电荷处的q等效原来的点电荷q与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为ε2的均匀空间。已知各个点电荷产生的电场强度分别为变换到法向和切向后，代入上述边界条件，解方程组，可求得镜像电荷如下：rrqeE211π4ε=rrq′′′=′eE211)(π4εrrq′′′′′′=′′eE222)(π4εqq2121εεεε+−=′qq2122εεε+=′′1)电场切向分量保持连续，即2t1t1tEEE′′=′+n21n1nDDD′′=′−2)电位移的法向分量应该相等，即但是，必须迫使所求得的场符合原先的介质1和2间的边界条件，即Eε1ε1θqr0E'tE′nE′EtEn0r′q'ε2ε2