2013年高考数学总复习 2-3 函数的奇偶性与周期性课件 新人教B版

第三节函数的奇偶性与周期性重点难点重点：1.奇偶函数的定义及其图象的对称特征．2．函数的周期性．难点：函数性质的综合应用．知识归纳一、函数的奇偶性1．奇偶性的定义设函数y＝f(x)的定义域为D，若对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝______(或f(－x)＝_____)成立，则称f(x)为奇函数(或偶函数)．－f(x)f(x)2．关于奇偶性的结论与注意事项(1)函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的．显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．(2)函数按奇偶性分类可分为：是奇函数不是偶函数、是偶函数不是奇函数、既是奇函数也是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数．(3)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么f(0)＝0；如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则其值域为{0}，但逆命题不成立．若f(x)为偶函数，则恒有f(x)＝f(|x|)．(4)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．(5)两个奇(偶)函数之和、差为奇(偶)函数；两个奇(偶)函数之积、商是偶函数；一个奇函数与一个偶函数之积或商是奇函数(以上函数都不包括值恒为0的函数)．二、函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝____，那么函数f(x)叫做周期函数．T叫做这个函数的一个周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做它的最小正周期．f(x)(2)一般我们提到函数的周期是多少，指的是最小正周期；如果T是f(x)的周期，则kT(k∈N*)也是该函数的周期；周期函数不一定有最小正周期．误区警示判断函数奇偶性时首先要看其定义域是否关于原点对称．如函数y＝x2(x∈(－1,1])并不具备奇偶性．因此，一个函数是奇函数或偶函数，其定义域必须关于原点对称．一、方程的思想运用方程观点看待问题，就是将问题转化为方程问题来解决，或者通过构造方程来达到解题的目的．[例]设f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，若f(x)－g(x)＝12x，比较f(1)、g(0)、g(－2)的大小________．分析：奇偶性讨论的就是f(－x)与f(x)的关系，如果题目中涉及x与－x的函数值之间的关系，一般考虑用奇偶性解决．如果告诉了函数的奇偶性，应从f(－x)＝±f(x)入手．解析：∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．∴f(－x)－g(－x)＝12－x，即－f(x)－g(x)＝2x.∴fx－gx＝2－x－fx－gx＝2x，∴fx＝2－x－2x2gx＝－2x＋2－x2∴f(1)＝－34，g(0)＝－1，g(－2)＝－178，∴g(－2)g(0)f(1)．二、解题技巧1．判别函数奇偶性的方法(1)定义法：第一步先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数．第二步直接或间接利用奇偶函数的定义来判断．即若有：f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0，f(x)/f(－x)＝－1)，则f(x)为奇函数．若有f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0，f(x)/f(－x)＝1)，则f(x)为偶函数．(2)图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断．(3)复合函数奇偶性的判断若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”．2．函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式．(2)已知带有字母系数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法，由f(x)±f(－x)＝0产生关于x的恒等式，利用对应项系数相等或赋值法求得字母的值．三、恒等式f(x)为奇(偶)函数是说对函数f(x)定义域内的任意x的值都有f(－x)＝－f(x)，(f(－x)＝f(x))，这是关于x的一个恒等式．f(x)是周期为T的周期函数是说，对于f(x)定义域内的任意x，都有f(x＋T)＝f(x)成立，这也是关于x的恒等式．处理恒等式问题关键是利用x取值的任意性，常用比较系数法和赋值法求解．[例1](2011·北京西城一模)下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是()A．y＝2|x|B．y＝x2－xC．y＝2xD．y＝x3分析：给出函数的解析式判断奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再验证f(－x)＝±f(x)是否成立．判断函数的奇偶性解析：四个函数的定义域都是R，y＝2|x|是偶函数，y＝2x是奇函数，y＝x3是奇函数，y＝x2－x既不是奇函数也不是偶函数．答案：B点评：如何判断函数奇偶性：第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数．第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断，化简时要保持定义域不改变；第三，利用定义进行等价变形判断．第四，分段函数应分段讨论，要注意据x的范围取相应的函数表达式或利用图象判断．(2010·广东理，3)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则()A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数解析：∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，∴f(x)为偶函数，而g(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．答案：B[例2](2010·江苏)设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)，x∈R，是偶函数，则实数a＝________.分析：已知f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，利用此关于x的恒等式可求出a值；注意到f(x)＝g(x)·h(x)，其中g(x)＝x为奇函数，又f(x)为偶函数，∴h(x)＝ex＋ae－x为奇函数，且h(0)有意义，故h(0)＝0.已知函数奇偶性，求参数的值或取值范围解析：令g(x)＝x，h(x)＝ex＋ae－x，因为函数g(x)＝x是奇函数，则由题意知，函数h(x)＝ex＋ae－x为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，∴h(0)＝0，解得a＝－1.答案：－1(文)(2011·辽宁文，6)若函数f(x)＝x2x＋1x－a为奇函数，则a＝()A.12B.23C.34D．1解析：法①：∵f(x)是奇函数且f(x)＝x2x＋1x－a＝x2x2＋1－2ax－a∴f(－x)＝－f(x)即－x2x2－1－2ax－a＝－x2x2＋1－2ax－a∴－(1－2a)＝1－2a，∴1－2a＝0，∴a＝12.法②：∵f(x)的分子是奇函数∴要使f(x)为奇函数，则它的分母必为偶函数∴1－2a＝0，∴a＝12.法③：∵f(x)为奇函数，且－12不在f(x)的定义域内，故12也不在f(x)的定义域内，∴12－a＝0，∴a＝12.法④：∴f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，∴a＝12.答案：A(理)(2010·山东枣庄模拟)若f(x)＝lg2x1＋x＋a(a∈R)是奇函数，则a＝________.解析：∵f(x)＝lg2x1＋x＋a是奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0恒成立，即lg2x1＋x＋a＋lg－2x1－x＋a＝lg2x1＋x＋a2xx－1＋a＝0.∴2x1＋x＋a2xx－1＋a＝1，∴(a2＋4a＋3)x2－(a2－1)＝0，∵上式对定义内的任意x都成立，∴a2＋4a＋3＝0a2－1＝0，∴a＝－1.答案：－1点评：①可以先将真数通分，再利用f(－x)＝－f(x)恒成立求解，运算过程稍简单些．②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．f(x)＝lga＋2x＋a1＋x为奇函数，显然x＝－1不在f(x)的定义域内，故x＝1也不在f(x)的定义域内，令x＝－aa＋2＝1，得a＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力.[例3]已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝(12)x，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是________．分析：要比较三个函数值的大小，应先求出f(x)与g(x)的解析式，∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故可在已知等式中用－x代替x，构造关于f(x)、g(x)的关系式与原等式组成“方程组”可解出f(x)与g(x)．函数奇偶性的应用解析：由条件知fx－gx＝12xf－x－g－x＝12－x，∴fx－gx＝12x－fx－gx＝2x，解得fx＝12[12x－2x]gx＝－12[12x＋2x]，从而可得f(1)＝－34，g(0)＝－1，g(－1)＝－54，∴g(－1)g(0)f(1)．答案：g(－1)g(0)f(1)(文)(2011·湖南文，12)已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.解析：g(－2)＝f(－2)＋9＝3，又因为f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝9－3＝6.答案：6(理)(2011·银川模拟)已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0x3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式xf(x)0的解集为________．解析：当0x3时，由图象知，满足xf(x)0的解为：0x1，由奇函数的对称性可知，－1x0时，f(x)0，也满足xf(x)0.答案：(－1,0)∪(0,1)[例4](文)(2010·安徽卷)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝()A．－1B．1C．－2D．2函数的周期性解析：∵f(x)为奇函数，f(1)＝1，f(2)＝2，∴f(－1)＝－1，f(－2)＝－2，∵f(x)周期为5，∴f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)＝－1.答案：A(理)(2010·揭阳模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．分析：由f(x＋2)＝－f(x)可得f(x＋4)与f(x)关系，由f(x)为奇函数及在(0,2]上解析式可求f(x)在[－2,0]上的解析式，进而可得f(x)在[2,4]上的解析式．解析：(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝0.(文)(2010·豫南九校联考)f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在