2013年高考数学总复习 2-4 指数与指数函数课件 新人教B版

第四节指数与指数函数重点难点重点：①指数幂的运算法则．②指数函数的概念、图象与性质．难点：①根式与分数指数幂的运算．②a1与0a1时，指数函数图象、性质的区别．③指数函数图象与性质的应用和简单指数方程、不等式的求解．知识归纳1．整数指数幂的运算性质(1)am·an＝_____，(am)n＝____，(a·b)n＝_____.(m、n∈Z)(2)xn＝a，(n∈N，n1)⇔x＝na，n为奇数，x＝±naa0，n为偶数.am＋nam·nan·bn(na)n＝__；a2＝__；nan＝__，n为奇数，__，n为偶数.(3)分数指数幂amn＝nam；a--mn＝1amn＝1nam.(a0，m，n∈N，且n1)a|a|a|a|(4)指数幂的运算性质ar·as＝ar＋s，(ar)s＝ar·s，(a·b)r＝ar·br.(a0，b0，r，s∈R)2．指数函数的图象和性质指数函数定义y＝ax(a0，a≠1)图象(1)定义域：R(2)值域：(0，＋∞)(3)过(0,1)点，即x＝0时，y＝1.(4)当a1时，在R上是增函数；当0a1时，在R上是减函数．x0x0a1y10y1性质0a10y1y1误区警示1．忽视底数a1与0a1时性质的区别及函数的值域致误．解题的每一步要等价转化．2．比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相等．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．3．用换元法解题时，要注意“新元”的取值范围．一、数形结合的思想有关幂值大小的比较，指数型函数的问题，借助于图象来求解常能起到事半功倍的效果．[例1]比较233与3432的大小．解析：在同一直角坐标系中作出函数y＝49x与y＝34x的图象，考察x＝32时y值大小，∵4934，∴49323432，∴2333432.二、分类讨论的思想[例2]函数f(x)＝ax(a0且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a3，则a的值为________．解析：0a1时，f(x)＝ax在[1,2]上单调递减，∴a－a2＝a3，∴a＝23；a1时，f(x)＝ax单调递增，∴a2－a＝a3，∴a＝43.答案：43或23三、解题技巧1．比较一组幂式、对数式形式的数的大小时，一般先区分正、负(与0比)；正数再与1比较，找出大于1的和小于1的；底数相同的幂式，用指数函数的单调性；底数相同的对数式用对数函数的单调性；指数相同的幂式用幂函数的单调性或指数函数的图象；真数相同的对数式用对数函数的图象；底数不同、指数也不同的幂式或底数不同、真数也不同的对数式可引入中间量转化或化成同底，另外要注意指对互化的灵活运用．2．在指数里含有未知数的方程的解法．(1)形如af(x)＝ag(x)(a0，a≠1)的方程，化为f(x)＝g(x)求解；(2)形如af(x)＝bg(x)(a0，b0，a≠1，b≠1)的方程，两边取对数；(3)形如a2x＋b·ax＋c＝0的方程，用换元法令ax＝t化为二次方程求解．[例1](2010·沈阳模拟)(1)化简：a－4b23ab2(a0，b0)；(2)已知a12＋a－12＝3，求a＋a－1，a2＋a－2的值．指数幂的运算解析：点评：(1)有理指数幂的运算，一般是小数化成分数，根式化成分数指数幂进行．(2)对于条件求值问题，一般先把条件式或待求式化简变形，找出已知与未知的联系后代入求值．解析：(1)原式＝5－2－1－5－22＝(5－2)－1－(5－2)＝－1.(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]＝4ab0＝4a.答案：(1)－1(2)4a[例2](2011·杭州月考)函数y＝a|x|(a1)的图象是()指数函数的图象解析：y＝a|x|＝axx≥0a－xx0，当x≥0时，与指数函数y＝ax(a1)的图象相同；当x0时，y＝a－x与y＝ax的图象关于y轴对称，由此判断B正确．答案：B点评：一般地，非基本初等函数的图象与性质的讨论，先化归为基本初等函数来解决．(2011·济南模拟)定义运算a⊗b＝aa≤bbab，则函数f(x)＝1⊗2x的图象大致为()解析：由a⊗b＝aa≤bbab得f(x)＝1⊗2x＝2xx≤01x0.答案：A[例3]已知log23blog23alog23c，则()A．2b2a2cB．2a2b2cC．2c2b2aD．2c2a2b分析：可先由对数函数y＝log23x的单调性得出a、b、c的大小，再由y＝2x的单调性得出结论．指数函数的单调性与值域解析：∵y＝log23x为减函数，log23blog23alog23c∴bac又y＝2x为增函数∴2b2a2c故选A.答案：A设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝12－1.5，则()A．y3y1y2B．y2y1y3C．y1y2y3D．y1y3y2解析：y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，∵y＝2x在R上是单调递增函数，∴y1y3y2.∴选D.答案：D[例4]已知函数y＝12|x＋2|.(1)作出图象；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出，当x取什么值时函数取到最值？指数型函数的性质解析：(1)∵y＝12|x＋2|＝12x＋2x≥－22x＋2x－2∴可作出其图象如图．(2)由图象可见，单调增区间为(－∞，－2]，单调减区间为(－2，＋∞)(3)x＝－2时，函数有最大值，没有最小值．点评：函数y＝12|x＋2|的图象可视作函数y＝12|x|的图象向左平移2个单位得到的，又y＝12|x|＝12xx≥02xx0，∴其图象如图．(文)若函数f(x)＝a|2x－4|(a0，a≠1)，满足f(1)＝19，则f(x)的递减区间是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]解析：∵f(1)＝19，∴a2＝19，∵a0且a≠1，∴a＝13，∴f(x)＝(13)|2x－4|，∵t＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y＝(13)t为减函数，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减．答案：B(理)(2011·宜昌一模)已知y＝f(x＋1)是定义在R上的偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝2x，设a＝f(12)，b＝f(43)，c＝f(1)，则a、b、c的大小关系为()A．acbB．cbaC．bcaD．cab解析：∵y＝f(x＋1)是偶函数，y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移1个单位得到，∴y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(12)＝f(32)，∵x∈[1,2]时，f(x)＝2x为增函数．∴f(1)f(43)f(32)，∴cba.答案：B[例5](2011·银川模拟)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．分析：此函数关于ax是二次函数，令t＝ax作换元，则由x∈[－1,1]可求得t的取值范围，通过配方利用二次函数的单调性可求得其最大值，令其最大值等于14即可求得a的值．指数函数的综合问题解析：令t＝ax，则y＝t2＋2t－1，对称轴方程为t＝－1，若a1，∵x∈[－1,1]，∴t＝ax∈1a，a，y最大值＝a2＋2a－1＝14，∵a0，∴a＝3.若0a1，∵x∈[－1,1]，∴t＝ax∈a，1a，y最大值＝1a2＋21a－1＝14，∵0a1，∴a＝13，∴a＝3或13.(文)若关于x的方程25－|x＋1|－4·5－|x＋1|－m＝0有实根，则实数m的取值范围是________．解析：令t＝5－|x＋1|知t2－4t＝m，则有m＝t2－4t＝(t－2)2－4.∵t∈(0,1]，∴m∈[－3,0)．答案：[－3,0)(理)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量且a0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．(1)试确定f(x)；(2)若不等式(1a)x＋(1b)x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数x的取值范围．解析：(1)∵f(x)＝b·ax的图象过点A(1,6)，B(3,24)，∴b·a＝6①b·a3＝24②②÷①得a2＝4，又a0，且a≠1，∴a＝2，b＝3，∴f(x)＝3·2x.(2)由(1)知a＝2，b＝3，∴(1a)x＋(1b)x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，即m≤(12)x＋(13)x在(－∞，1]上恒成立．令g(x)＝(12)x＋(13)x，则g(x)在(－∞，1]上单调递减，∴m≤g(x)min＝g(1)＝12＋13＝56，故所求实数m的取值范围是(－∞，56]．一、选择题1．(文)(2011·河北石家庄一模)若A＝{x∈R||x|2}，B＝{x∈R|3x1}，则A∩B等于()A．(－2,2)B．(－2,1)C．(0,2)D．(－2,0)[答案]D[解析]A＝{x|－2x2}，B＝{x|x0}，则A∩B＝{x|－2x0}．(理)若0ab12，则()A．2ab2aB．2ab2bC．log2(ab)－1D．log2(ab)－2[答案]D[解析]易知y＝2x在R上单调递增，y＝log2x在R＋上单调递增，故2ab2a,2ab2b，log2(ab)log2122＝－2，故选D.2．(文)已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝()A．5B．7C．9D．11[答案]B[解析]∵f(x)＝2x＋2－x，f(a)＝3，∴2a＋2－a＝3，f(2a)＝22a＋2－2a＝(2a)2＋(2－a)2＝(2a＋2－a)2－2＝9－2＝7.(理)(2011·湖北理，6)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a0，且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)＝()A．2B.154C.174D．a2[答案]B[解析]∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2得，f(－x)＋g(－x)＝a－x－ax＋2，解得f(x)＝ax－a－x，g(x)＝2，又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x，∴f(2)＝154.3．(2010·北京崇文区)设a＝120.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a、b、c的大小关系是()A．abcB．abcC．bacD．acb[答案]C[解析]y＝x0.5在(0，＋∞)上是增函数，1120.3，∴1ab，又y＝log0.3x在(0，＋∞)上为减函数，∴log0.30.2log0.30.3＝1，即c1，∴bac.二、填空题4．(文)(2011·宜昌调研)设函数f(x)＝a－|x|(a0且a≠1)，若f(2)＝4，则f(－2)与f(1)的大小关系是________．[答案]f(－2)f(1)[解析]由f(2)＝a－2＝4，解得a＝12，∴f(x)＝2|x|，∴f(－2)＝42＝f(1)．(理)(2011·厦门质检)方程9x－6·3x－7＝0的解是________．[答案]log37[解析]9x－6·3x－7＝0⇔(3x)2－6·3x－7＝0，∴3x＝7或3x＝－1(舍去)．∴x＝log37.