正弦定理和余弦定理(教师版)

寻找最适合自己的学习方法1正弦定理和余弦定理1．正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R等形式，解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.3．S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.4．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解[难点正本疑点清源]1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，AB⇔ab⇔sinAsinB；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC；在锐角三角形中，cosAsinB,cosAsinC·2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．1．在△ABC中，若A＝60°，a＝3，则a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝________.2．(2012·福建)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．3．(2012·重庆)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝35，cosB＝513，b＝3，则c＝________.4．(2011·课标全国)在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________．寻找最适合自己的学习方法25．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形的面积为()A．22B．82C.2D.22题型一利用正弦定理解三角形例1在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A、C和边c.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则角A的大小为________．题型二利用余弦定理求解三角形例2在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2＋cosA＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．寻找最适合自己的学习方法3题型三正弦定理、余弦定理的综合应用例3(2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝π3，且△ABC的面积为3，求a，b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．解(1)∵c＝2，C＝π3，∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得a2＋b2－ab＝4.又∵△ABC的面积为3，∴12absinC＝3，ab＝4.联立方程组a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2.(2)由sinC＋sin(B－A)＝sin2A，得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sinAcosA，即2sinBcosA＝2sinAcosA，∴cosA·(sinA－sinB)＝0，∴cosA＝0或sinA－sinB＝0，当cosA＝0时，∵0Aπ，∴A＝π2，△ABC为直角三角形；当sinA－sinB＝0时，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，即△ABC为等腰三角形．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．寻找最适合自己的学习方法42.(2011·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA＋sinC＝psinB(p∈R)，且ac＝14b2.(1)当p＝54，b＝1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围．解(1)由题设并由正弦定理，得a＋c＝54，ac＝14，解得a＝1，c＝14或a＝14，c＝1.(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB＝p2b2－12b2－12b2cosB，即p2＝32＋12cosB.因为0cosB1，所以p2∈32，2，由题设知p0，所以62p2.3.(2012·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cosB的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．题型四三角形形状的判定典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．A级课时对点练(时间：40分钟满分：60分)寻找最适合自己的学习方法5一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分)1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c＝()A．52B．102C.1063D．56解析：由正弦定理得：10sin60°＝csin45°，∴c＝10×2232＝1063.答案：C2．(2010·茂名调研)已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为()A．60°B．90°C．120°D．150°解析：由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab得(a＋b)2－c2＝ab.c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcosC.∴cosC＝－12，C＝120°.答案：C3．在△ABC中，已知sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形解析：利用正弦定理、余弦定理把已知转化为三边关系，可得b2＋c2＝a2，因此A＝90°.答案：A4．△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于()A.32B.34C.32或3D.32或34解析：1sin30°＝3sinC，∴sinC＝32.∵0°＜C＜180°，∴C＝60°或120°.(1)当C＝60°时，A＝90°，∴BC＝2，此时，S△ABC＝32；(2)当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝12×3×1×sin30°＝34.答案：D寻找最适合自己的学习方法65．(2010·上海卷)若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析：∵sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c∴a∶b∶c＝5∶11∶13设a＝5k，b＝11k，c＝13k，则cosC＝a2＋b2－c22ab＝25k2＋121k2－169k22×5k×11k＝－23110＜0，∴C为钝角．答案：C二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)6．在△ABC中，2b＝a＋c，∠B＝30°，△ABC的面积为32，那么b等于________．解析：由2b＝a＋c，两边平方a2＋c2＝4b2－2ac，又S△ABC＝12acsinB＝14ac＝32，∴ac＝6，∴a2＋c2＝4b2－12，∴b2＝a2＋c2－2accosB＝4b2－12－63，∴b2＝4＋23.∴b＝1＋3.答案：1＋37．(2010·广东卷)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sinA＝________.解析：在△ABC中，A＋B＋C＝180°，又∵A＋C＝2B，∴3B＝180°即B＝60°.由正弦定理asinA＝bsinB，所以sinA＝asinBb＝1×323＝12.答案：128．(2010·山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sinB寻找最适合自己的学习方法7＋cosB＝2，则角A的大小为________．解析：∵sinB＋cosB＝2sinB＋π4＝2，∴sinB＋π4＝1，解得B＝π4.由正弦定理asinA＝bsinB得sinA＝12，即A＝π6.答案：π6三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)9．(2010·重庆卷)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b2＋3c2－3a2＝42bc.(1)求sinA的值；(2)求2sinA＋π4sinB＋C＋π41－cos2A的值．解：(1)由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝223，又0＜A＜π，故sinA＝1－cos2A＝13.(2)原式＝2sinA＋π4sinπ－A＋π41－cos2A＝2sinA＋π4sinA－π42sin2A＝222sinA＋22cosA22sinA－22cosA2sin2A＝sin2A－cos2A2sin2A＝－72.10．已知平面四边形ABCD中，△BCD为正三角形，AB＝AD＝1，∠BAD＝θ，记四边形的面积为S.(1)将S表示为θ的函数，(2)求S的最大值及此时θ的大小．寻找最适合自己的学习方法8解：(1)在△ABD中，由余弦定理得BD2＝2－2cosθ，又S＝S△ABD＋S△BCD＝12sinθ＋12(2－2cosθ)sinπ3.所以S＝sinθ－π3＋32，θ∈(0，π)．(2)∵θ∈(0，π)，∴－π3＜θ－π3＜2π3.所以θ－π3＝π2时，即θ＝5π6时，S取得最大值，最大值为1＋32.B级素能提升练(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分)1．(2010·长春调研)锐角△ABC中，若A＝2B，则ab的取值范围是()A．(1,2)B．(1，3)C．(2，2)D．(2，3)解析：∵△ABC为锐角三角形，且A＝2B，∴0＜2B＜π2，0＜π－3B＜π2，∴π6＜B＜π4.∵A＝2B，∴sinA＝sin2B＝2sinBcosB，∴ab＝sinAsinB＝2cosB∈(2，3)．答案：D2．在△ABC中，如果lga－lgc＝lgsinB＝－lg2，并且B为锐角，则△ABC的形状是()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形解析：由已知得ac＝sinB＝22，得B＝π4，由余弦定理知：b2＝a2＋c2－2accosB，∴b2＝a2＋(2a)2－2·a·2a·cosπ4＝a2，∴a＝b，又c＝2a，∴a2＋b2＝c2.∴△ABC为等腰直角三角形．答案：D二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)寻找最适合自己的学习方法93．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S＝14(a2＋b2－c2)，则角C的度数是________．解析：由S＝14(a2＋b2－c2)得12absinC＝14·2abcosC.∴tanC＝1.又0＜C＜π，∴C＝45°.答案：45°4．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．解析：∵a2＋b2－c2＝－3ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝－32，故C＝150°为三角形的最大内角．答案：150°三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)5．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.解：由余弦定理得：a2－c2＝b2－2bccosA．又a2－c2＝2b，