12.1线段垂直平分线的性质与判定(第3课时)

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。垂直平分线:图形轴对称的性质:如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。线段垂直平分线的性质:证明:直线MN⊥AB于C且AC=CB，点P在MN上.题设：ABPMNC线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。一、线段垂直平分线的性质:结论：PA=PB求证：已知：∵直线MN⊥AB于C，AC=CB，点P在MN上∴PA=PB一、线段垂直平分线的性质:数学表达：∵直线MN垂直平分AB，点P在MN上∴PA=PBABPMNC也可以说：∵P是线段AB垂直平分线上的点，∴PA=PB线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等还可以说：依据是：证明:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。OABP如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？OABPPA＞PB如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？OABPPA＜PB如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？OABPPA＝PB如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？OABP答：当PA=PB时，射出的箭的方向与木棒垂直二、线段垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。二、线段垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。证明:题设:CA=CB结论:C在AB的垂直平分线上已知:求证:证明:OABC过C作CO⊥AB于O则∠AOC=∠BOC=90°在RtΔAOC和RtΔBOC中，AC=BCOC=OC∴RtΔAOC≌RtΔBOC（HL）∴OA=OB又∵CO⊥AB于O∴C在AB的垂直平分线上已知:如图,AC=AD，BC=BD，求证：AB垂直平分CD。∵AC=AD∴点A在CD的垂直平分线上（）ODCBA证明:与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上同理，∵BC=BD∴点B在CD的垂直平分线上∴AB垂直平分CD（两点确定一条直线）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。一、线段垂直平分线的性质定理：PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。二、线段垂直平分线的判定性质:三、关系：互逆线段的垂直平分线可以看作是和线段两端点距离相等的所有点的集合。四、线段的垂直平分线的集合定义：如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。PCBA（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？（1）求证：PA=PB=PC。证明:∵点P在AB的垂直平分线上∴PA=PB（线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等）同理，∵点P在BC的垂直平分线上∴PB=PC∴PA=PB=PC∵PA=PC∴点P在AC的垂直平分线上（与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）解:已知：如图，△ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为26cm，求BC的长。做一做EDCBA解:∵DE是AB的垂直平分线∴EA=EB(线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等）∵△BCE周长=CE+EB+BC又∵AC=CE+EA=CE+EB∴BC=△BCE周长-(CE+EB)=△BCE周长-AC=10cm解:做一做已知：如图，P为∠MON内一点，OM⊥PA于E，ON⊥PB于F，EA=EP，FB=FP，若AB长为15cm，求△PCD的周长。FENMODCBPA∵OM⊥PA于E，EA=EP，点C在OM上，∴CA=CP(线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等）同理，∵ON⊥PB于F，FB=FP，点D在ON上，∴DB=DP∵△PCD周长=CP+CD+DP=CA+CD+DB=AB又∵AB=15cm∴△PCD周长=15cm