高考数学杨老师-高考数学解答题秒杀策略

高考数学杨老师1高考数学杨老师-高考数学解答题秒杀策略【考点例析】题型1：二次函数综合问题例1．（2012年高考（北京文））已知函数2()1fxax(0a),3()gxxbx.(1)若曲线()yfx与曲线()ygx在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求,ab的值；(2)当3,9ab时,求函数()()fxgx在区间[,2]k上的最大值为28,求k的取值范围.解:(1)()2fxax,2()=3gxxb.因为曲线()yfx与曲线()ygx在它们的交点1c，处具有公共切线,所以(1)(1)fg,(1)(1)fg.即11ab且23ab.解得3,3ab(2)记()()()hxfxgx当3,9ab时,32()391hxxxx,2()369hxxx令()0hx,解得:13x,21x;()hx与()hx在(,2]上的情况如下:x(,3)3(3,1)1(1,2)2()hx+0—0+()hx28-43由此可知:当3k时,函数()hx在区间[,2]k上的最大值为(3)28h;当32k时,函数()hx在区间[,2]k上的最大值小于28.因此,k的取值范围是(,3]点评：三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.[来源:]例2．设fxaxbxca20，若f01，f11，f－11,试证明：对于任意11x，有fx54.分析：同上题，可以用1,1,0fff来表示cba,,.解：∵cfcbafcbaf0,1,1,∴0)),1()1((21),0211(21fcffbfffa,∴222102121xfxxfxxfxf.∴当01x时，高考数学杨老师2.4545)21(1)1(2212210212122222222222xxxxxxxxxxxxxxfxxfxxfxf当10x时，222102121xfxxfxxfxf222122xxxxx)1(22222xxxxx.4545)21(122xxx综上，问题获证。点评：由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质。题型2：代数推理题的典例解析例3．已知).1(1)(xxxxf)()1(xf求的单调区间；（2）若.43)()(:,)(1,0cfafbbacba求证解析：（1）对已知函数进行降次分项变形,得111)(xxf,.),1()1,()(上分别单调递增和在区间xf（2）首先证明任意).()()(,0yfxfyxfyx有高考数学杨老师3事实上：)(1111)()(yxxyfyxxyyxxyyxxyyxxyxyyyxxyfxf而),()1(,yxfyxxyfyxyxxy知由)()()(yxfyfxf,04)2(1)(122abbabbac.34222aaaca43)3()()()(fcafcfaf.点评：函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考知识又考能力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值.针对本例的求解,你能够想到证明任意).()()(,0yfxfyxfyx有采用逆向分析法,给出你的想法。例4．对于函数)(xf，若存在000)(,xxfRx使成立，则称)(0xfx为的不动点。如果函数),()(2Ncbcbxaxxf有且只有两个不动点0，2，且,21)2(f（1）求函数)(xf的解析式；（2）已知各项不为零的数列1)1(4}{nnnafSa满足，求数列通项na；（3）如果数列}{na满足)(,411nnafaa，求证：当2n时，恒有3na成立.解析：依题意有xcbxax2,化简为,0)1(2acxxb由违达定理,得：,102,102babc解得,210cba代入表达式cxcxxf)21()(2，由,2112)2(cf得xxfbcNbNcc)(,1,0,,,3则若又不止有两个不动点，高考数学杨老师4).1(,)1(2)(,2,22xxxxfbc故（2）由题设得,2:1)11(2)1(422nnnnnnaaSaaS得（*）且21112:1,1nnnnaaSnna得代以（**）由（*）与（**）两式相减得：,0)1)((),()(2112121nnnnnnnnnaaaaaaaaa即,2:(*)1,1211111aaanaaaannnn得代入以或解得01a（舍去）或11a，由11a，若,121aaann得这与1na矛盾，11nnaa，即{}na是以-1为首项，-1为公差的等差数列，nan；（3）采用反证法，假设),2(3nan则由（1）知22)(21nnnnaaafa),2(,143)211(21)111(21)1(211Nnnaaaaaaannnnnnn即,有21aaann，而当,3;338281622,21212naaaan时这与假设矛盾，故假设不成立，3na。关于本例的第(3)题,我们还可给出直接证法,事实上：由2121)211(21,22)(21211nnnnnnnaaaaaafa得得1na0或.21na,30,011nnaa则若结论成立；若1na2，此时,2n从而,0)1(2)2(1nnnnnaaaaa即数列{na}在2n时单调递减，由3222a，可知2,33222naan在上成立.点评：比较上述两种证法,你能找出其中的异同吗?数学解题后需要进行必要的反思,学高考数学杨老师5会反思才能长进。题型3：解析几何综合问题例5．已知双曲线122:22xyC，直线l过点0,2A，斜率为k，当10k时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为2，试求k的值及此时点B的坐标。分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与l平行的直线，必与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0.由此出发，可设计如下解题思路：10)2(:kxkyl[来源:数理化网]kkkxyl2222:'[来源:学§科§网]的值解得k解题过程略.分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线l的距离为2”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路：[来源:][来源:]解析：设点)2,(2xxM为双曲线C上支上任一点，则点M到直线l的距离为：212222kkxkx10k于是，问题即可转化为如上关于x的方程.由于10k，所以kxxx22，从而有.222222kxkxkxkx把直线l’的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式0直线l’在l的上方且到直线l的距离为2转化为一元二次方程根的问题求解问题关于x的方程10212222kkkxkx有唯一解高考数学杨老师6于是关于x的方程)1(22222kkxkx02)1(2,)2)1(2(222222kxkkkxkkx.02)1(2,022)1(22)1(221222222kxkkkkxkkkxk由10k可知：方程022)1(22)1(22122222kkxkkkxk的二根同正，故02)1(22kxkk恒成立，于是等价于022)1(22)1(22122222kkxkkkxk.由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式0，就可解得552k.点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性。例6．已知椭圆C:xy2228和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使APPBAQQB，求动点Q的轨迹所在曲线的方程。分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的。由于点),(yxQ的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作为参数，如何将yx,与k联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：APPBAQQB来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到)(82)(4BABABAxxxxxxx，要建立x与k的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可。通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做高考数学杨老师7到心中有数。在得到kfx之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于yx,的方程（不含k），则可由1)4(xky解得41xyk，直接代入kfx即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。简解：设),(),(,,2211yxQyxByxA，，则由QBAQPBAP可得：xxxxxx212144，解之得：)(82)(4212121xxxxxxx（1）设直线AB的方程为：1)4(xky，代入椭圆C的方程，消去y得出关于x的一元二次方程：08)41(2)41(412222kxkkxk（2）将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理利用点Q满足直线AB的方程：y=k(x—4)+1，消去参数k点Q的轨迹方程QBAQPBAP)(82)(4BABABAxxxxxxxkfx高考数学杨老师8∴.128)41(2,12)14(42221221kkxxkkkxx代入（1），化简得：.234kkx(3)与1)4(xky联立，消去k得：.0)4(42xyx在（2）中，由02464642kk，解得41024102k，结合（3）可求得.910216910216x故知点Q的轨迹方程为：042yx（910216910216x）.点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到.这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何