2-1节导数的概念

1第一节导数的概念2重点：导数的定义、难点：复合函数的求导、隐函数及参数函数求导31.1导数的概念1.自由落体运动的瞬时速度问题0tt,0时刻的瞬时速度求tt如图,,0tt的时刻取一邻近于,t运动时间tsv平均速度00ttss).(20ttg,0时当tt取极限得2t)(tlimv00gtt瞬时速度.0gt◆问题的提出42.切线问题割线的极限位置——切线位置播放5T0xxoxy)(xfyCNM如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即.0,0NMTMN).,(),,(00yxNyxM设的斜率为割线MN00tanxxyy,)()(00xxxfxf,,0xxMNC沿曲线的斜率为切线MT.)()(limtan000xxxfxfkxx6实际中类似问题很多，最后都可归结为xxfxxfx)()(lim000xyxxfxxf)()(00其中处的在称为函数0)(xxfy差商，计算差商的极限。数的平均变化率。，则要若要计算精确的变化率它表示函对于另一通常把研究某个变量相这类问题叫做个变量变化快慢程度的变化率问题。71.2导数的定义定义内有定义，在区间设函数),()(baxfy若极限),,(0baxxxfxxfxyxx)()(limlim0000，或可导可微在点存在，则称函数)()(0xxf或的微商在并称此极限值为函数()(0xxfy，记为导数)8,)(00xxxxdxxdfdxdy或),(),(00xyxfxxfxxfxyyxxxx)()(limlim00000即.)()(lim)(0000hxfhxfxfh.)()(lim)(0000xxxfxfxfxx其它形式9不可微，在点如果极限不存在，称0)(xxf,lim0xyx特别地，如0)(xxf在点也称。微商（导数）是无穷大内每一点都可导，在如果),()(baxfy的内可微（或可导），且在则称)(),()(xfbaxf的微商函数的函数，称为仍是微商)()(xfxxf).(或导函数10由定义求导数步骤:);()()1(xfxxfy求增量;)()()2(xxfxxfxy算比值.lim)3(0xyyx求极限例1.)()(的导数为常数求函数CCxf解hxfhxfxfh)()(lim)(0hCCh0lim.0.0)(C即课堂练习P82。2.311例2.)(的导数为正整数求函数nxyn解hxhxxnnhn)(lim)(0]!2)1([lim1210nnnhhhxnnnx1nnx.)(1nnnxx即更一般地)(.)(1Rxx)(x例如,12121x.21x)(1x11)1(x.12x课堂练习P82。512（１）5xy（２）53xy（３）31xy（４）3xy（５）xy（６）43xxxynxxxxy（7）13例4.)1,0()(的导数求函数aaaxfx解haaaxhxhx0lim)(haahhx1lim0.lnaax.ln)(aaaxx即.)(xxee有代入上式则令,),1(log,1thataheatataaxttaxtatxlog1)1(limlog1)1(log1lim1010)1(log11lim)1(loglim00ttattaatxahx1475ln)75()75(,3ln3)3(xxxxdxd例xxxxeyyy)100()3(25)2(,5)1(练习15例5.)1,0(log的导数求函数aaxya解hxhxyaahlog)(loglim0.ln1log1)(logaxexxaa即.1)(lnxxxxhxhah1)1(loglim0hxahxhx)1(loglim10.log1exa1610ln1)(lglg,log1)(log,1)(ln7575xxxyexxdxdxx例)(log)3(ln100)2(,lg)1(65xyxyxy练习.ln1log1)(logaxexxaa即17例3.)(sin)(sin,sin)(4xxxxxf及求设函数解hxhxxhsin)sin(lim)(sin022sin)2cos(lim0hhhxh.cosx.cos)(sinxx即44cos)(sinxxxx.22课堂练习P828182.右导数:1.左导数:;)()(lim)()(lim)(0000000xxfxxfxxxfxfxfxxx函数)(xf在点0x处可导左导数)(0xf和右导数)(0xf都存在且相等.;)()(lim)()(lim)(0000000xxfxxfxxxfxfxfxxx1.4单侧导数19).(,0,,0,sin)(62xfxxxxxf试求设例解)(sin)(0xxfx时，当,cosx)()(02xxfx时，当,2xxfxffxx)0()(lim)0(,00时当,10sinlim0xxxxfxffx)0()(lim)0(0,00lim20xxx20不存在。所以)0(f.0,20,0,cos)(xxxxxxf不存在，故处的导数（图如下）在请同学们求函数032xxy课堂练习P82。9-1021oxy)(xfyT0xM)(,tan)(,))(,()()(0000为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线xfxfxMxfyxf切线方程为法线方程为).)((000xxxfyy).()(1000xxxfyy导数的几何意义221.5可导性与连续性定理)()(0xfxxf可导，则函数在点若函数必连续。在点0x证可微，在点因0)(xxf)()()(lim0000xfxxfxxfx)]()([limlim0000xfxxfyxx而23xxxfxxfx)()(lim000.00)(0xf,0lim0yx即可微在点这就证明了0)(xxf连续。必在0x注意成立。此定理的逆命题不一定24,0,,0,sin)(2xxxxxf例如易知)(lim0xfx,0sinlim0xx)(lim0xfx,0lim20xx)0(0)(lim0fxfx连续。在所以0)(xxf处导数不存在。在但我们已知0)(xxf处为连续但不可微如上图所示，在函数0,xxyxy25例,0,,0,sin)(xbaxxxxf设必连续。在存在，则要使0)()0(xxff解存在。的值使求)0(,fba)(lim0xfx即)(lim0xfx0)0(f,0sinlim)(lim00xxfxx而,)(lim)(lim00bbaxxfxx,0b26而0)0()(lim)0(0xfxffx,1sinlim0xxx0)0()(lim)0(0xfxffx,lim0axaxx存在，所以已知)0(f.1a存在。时故当)0(0,1fba课堂练习P82。10