2014年上海市初三数学竞赛(原新知杯)试题&参考答案

2014年上海市“新知杯”初中数学竞赛试卷一、填空题（共10小题，每小题10分，满分80分）1、化简：3223222aababbaabb_________。2、已知：xyayz，yzbzx，zxcxy，求()()()abcbcacab______。3、已知：梯形ABCD，AB∥CD，AB=6，CD=16，CE⊥AD交AD于E，CE=BC=AD，求AE=______。4、方程2014xyzxyyzzxxyz的非负整数解有________组。5、在△ABC中，∠DAB=24°，∠ABD=44°，CD=2AB，求∠C=_______。6、已知：2,2,1xyxy，由点(,)xy围成的图形面积为_______。7、方程2221130(0)axaxaa有两个整数解，求a__________。8、123,,,...,ndddd为22014的所有正约数，求112014niid________。二、解答题（第9、10题每题15分；第11、12题每题20分，共70分）9、解方程：(1)xxxxxaxx10、300,ABCADCABCDADBC，求证：ABCDACBD11、正方形ABCD的边长为a，里面有几个圆，每个圆的面积均小于1，任意一条与边平行的线至多与1个圆有交点，求证圆的总面积小于a。12、（1）求证：可将正整数分成3组，使对每一个15n()nZ，每组都能找出两个不同的数，使其和等于n。（2）求证：将正整数任意分成4组，则存在一个15n()nZ，必有一组中没有两个不同数的和等于n。2014年上海市“新知杯”初中数学竞赛试卷参考答案与试题解析一、填空题（共10小题，每小题10分，满分80分）1、化简：3223222aababbaabb2,0,(),0,ababababababab。分析：整式变形以及分类讨论解答：当0ab时，32232222()()2()aababbabababaabbab，ab当0ab时，322322222()()()2()aababbabababaabbabab，ab2、已知：xyayz，yzbzx，zxcxy，求()()()abcbcacab8。分析：整式变形解答：()()()(2)(2)(2)8yzxabcbcacabzxy3、已知：梯形ABCD，AB∥CD，AB=6，CD=16，CE⊥AD交AD于E，CE=BC=AD，求AE=46。分析：平面几何问题，通过三角形相似求解解答：过A点作CD的垂线交CD于点F，设AF=x易知△ADF∽△CDE，有ADAFCDCE，又∵AD=CE∴22222(5)1616250ADxxCDAFxx解得839x（两种情况分别为E在梯形内部和外部）从而22225(839)1281639ADCEAFDF2228(16239)8[(13)2133(3)]8(133)22(133)上面的方法为配方法，通过拆分来匹配中间项从而构成完全平方式的形式22216(1281639)128163922(133)DECDCE46AEADDE，正值说明E在梯形内，负值代表E在梯形外不管怎样AE的长均为46。此题偏难，对计算的要求比较高。4、方程2014xyzxyyzzxxyz的非负整数解有27组。分析：整式变形解答：(1)(1)(1)1201551331xyzxyzxyyzzxxyzx，y，z为非负整数，所以有以下几种可能：（1,1,2015）、（1,5,403）、（1,13,155）、（1,31,65）、（5,13,31），共有34627组解。5、在△ABC中，∠DAB=24°，∠ABD=44°，CD=2AB，求∠C=22。分析：考察添加辅助线的技巧解答：由条件可知∠ADE=68°作AE，使得AE=AB，从而∠AED=44°，∠EAD=68°△AED为等腰三角形，AE=ED又∵CD=2AB，ED=AB∴CE=ED=AE∴△EAC也为等腰三角形故∠C=22°6、已知：2,2,1xyxy，由点(,)xy围成的图形面积为12。分析：根据条件在直角坐标系下作出图象，然后进行计算解答：满足条件的(,)xy围成的图形为易知其面积为127、方程2221130(0)axaxaa有两个整数解，求a111,,34。分析：看到类似对解的性质有描述的题，可以考虑利用韦达定理求解解答：设方程的两个根为12,xx且12xx由韦达定理，得121221221113352xxaxxaxxa，考虑到12,xx均为整数，所以213,52aa为整数又有0a，所以1an，其中n为正整数下面进行分类讨论当1a时，1223527xxa，符合条件当12a时，12235240xxa，不是整数，不满足条件当13a时，1223525xxa，符合条件当14a时，1223522xxa，符合条件当15a时，23520a，不满足条件综上所述，111,,34a。8、123,,,...,ndddd为22014的所有正约数，求112014niid274028。分析：整式化简以及约数个数的计算解答：2222201421953，约数有(21)(21)(21)27个22211120142201411111()2014201420142201422014(2014)(2014)innniiiiiiiiiddddddd221201422014112727201422201440282014(22014)iniiiidddd二、解答题（第9、10题每题15分；第11、12题每题20分，共70分）9、解方程：(1)xxxxxaxx分析：考察对式子的化简能力解答：等式两边同乘以xx，得2(1)xxxxax移项得，2xaxxx（此处要求1ax）两边平方，得2222xaxxaxxx移项约分得，212aax(0)a解得21()4aax(当01a时成立，否则x无解)10、300,ABCADCABCDADBC，求证：ABCDACBD分析：通过添加辅助线，并利用相似三角形的性质解题解答：以BC为边作等边△BCE，连接DE∵300ABCADC，∴60BCDBAD∵60BCDDCE，∴DCEBAD∵ABCDADBC，∴ABADBCCD∵BCCE∴ABADCECD∴ABD∽CED∴CDEADB，∴EDBCDA又∵ABD∽CED，∴ADBDADCDCDEDBDED∵EDBCDA，ADCDBDED∴ADC∽BDE∴ACADACADBEBDBCBD∴ACBDADBCABCD，得证11、正方形ABCD的边长为a，里面有几个圆，每个圆的面积均小于1，任意一条与边平行的线至多与1个圆有交点，求证圆的总面积小于a。分析：考察极值问题。解答：不妨设n个圆的直径分别为12,,....,nddd，满足2,1,2,...,idin由条件“任一条与边平行的线至多与一个圆有交点”可知，12....nddda圆的总面积为22212(...)4nSddd问题转化为n个正数之和确定的情况下，它们的平方和最大为多少。根据不等式的知识，相等的时候平方和最小，偏离均值最大的时候平方和最大设2amb，m为非负整数且2b故22442(...)44Sbmbmba，得证。12、（1）求证：可将正整数分成3组，使对每一个15n()nZ，每组都能找出两个不同的数，使其和等于n。（2）求证：将正整数任意分成4组，则存在一个15n()nZ，必有一组中没有两个不同数的和等于n。分析：考察学生的构造能力解答：（1）证明：可以分成如下三组：第一组：1，2，3，12，15，18，……即1,2,3加上10以后所有3的倍数第二组：4，5，6，11，14，17，……即4,5,6加上10以后所有除3余2的数第三组：7，8，9，10，13，16，……即7,8,9加上10以后所有除3余1的数（包括10）（2）使用反证法：假定有一种正整数的分划，可使对每个正整数15n，任意一组中都存在两个相异的数，其和等于n。考虑所有小于24的正整数（一共23个数）的分组情况，易知一定存在一组，其中小于24的数不超过5个。设该组为12345,,,,Axxxxx由题意，对于15，16，17，…，24这10个正整数，A组中均存在两个相异整数之和与其相等，而不超过24的正整数要拆分成两个相异正整数的和，这两个加数一定都不超过23，因此这些加数都必定来自A组.另一方面，A中最多有5个正整数，其中任意两个数的和最多有25C种可能，这表明A中恰好有5个正整数，且15~24这10个数正好就是A中的5个数两两组合求和的所有结果．现在计算15~24这10个数的和：12131516...24()()...xxxx化简得123451954()xxxxx等式两边奇偶不同，矛盾！因而假设不成立，原题结论成立