第7章定解问题

第七章定解问题§7.1什么是定解问题1.定解问题定解问题是根据已知物理规律求解特定物理过程的数学条件，它由泛定方程和定解条件两个部分组成，泛定方程也称为数学物理方程。2.泛定方程泛定方程是待解物理过程所遵循的物理规律的数学表达式，具体表现为某物理量关于时间和空间变量的偏微分方程，同一类物理过程遵循相同的物理规律，因此泛定方程反映一类物理过程的共性。方程中物理量对时间变量的偏微分项反映物理过程的因果关联。方程中物理量对空间变量的偏微分项反映物理过程的内部作用，或内在关联。例1.质点运动状态的演化问题在质点动力学问题中常求质点的运动轨迹，一旦求出运动轨迹，则一切与质点运动有关的物理量（如动能、动量、角动量等）都可求出。质点的运动状态是由质点的位矢和动量完全确定，求质点运动轨迹的方法就是求解质点的运动状态随时间演变的过程，即由前一时刻的位矢和动量推算出下一时刻位矢和动量，从物理上看前后二时刻质点的运动状态的联系为dttpmtrdttrtrdttr)(1)()()()(，dttFtpdttptpdttp)()()()()(因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程Ftrm)(满足初始条件“0000)(,)(vtrrtr”的解。§7.2数学物理方程的导出一一、波动方程1．均匀弦的微小横振动【分析】如图7.1所示，张紧的、静止的弦是一直线，该直线是弦的平衡位置，以此为x轴。振动总是传播到整根弦，横振动就是弦中的质点离开平衡位置的位移垂直于x轴，可用t时刻弦上各质点x离开平衡位置的横向位移),(txu来描述弦的状态，某一时刻),(txu的分布代表弦的形状，称为位形。由于弦中质点的位移不同导致弦的形变，形变产生应力，为了便于应力的描述，不妨假定所研究的弦为“柔软的”弦，xu(x,t)T2xx+dxT121ABC平衡位置图7.12211221122)(),(sinsin0coscostudsdstxFTTTT所谓柔软的弦是指在放松条件下，把弦弯成任意的形状，弦都能保持静止，或弦的位形是光滑的。在外力和应力的作用下，质点运动规律遵循牛顿第二定律。将弦分成许多小段，取区间上的小段为代表，该段受邻段和的拉力和，小段的运动方程为其中为单位长度弦的质量，),(txF为单位长度的弦所受的横向外力，ds为B段弦的长度。因研究的弦振动为微小振动，所谓微小振动是指弦上质点离开平衡位置的最大位移远小于波在弦中传播的波长，因此有1、02，1cos1、1cos2xxutg11sin、dxxxutg22sindxxudxdudxds222)(1)()(21TT，即弦中的张力的大小是均匀的，与x无关，记弦中张力的大小为T。22),(tudxdxtxFxuxuTxdxx，即2222),(tutxFxuT记符号:tuut，xuux，22tuutt，22xuuxx，txuutx2，则),(2txfuauxxtt，（),(),(1txFtxf，Ta2）此方程称为受迫振动方程。若弦不受外力作用，则方程化为02xxttuau，该方程称为自由振动方程，或一维波动方程。【讨论】数学物理方程导出的主要步骤：(1)选取一个坐标系，选择适当物理量。(2)建立一个理想模型，理想情况下物理量才具有较好的数学性质，如“柔软的弦”表明),(txu具有连续的偏导数。(3)找出该物理过程所遵循的运动规律，取一微元为代表，将物理规律应用于该微元，列出方程。(4)作适当的近似，并化简最后得出描述该物理过程的数学物理方程。(5)所得方程的正确性必须由实验验证，数学上的演绎、推导只表明理论的自恰2．均匀杆的纵振动【分析】如图7.2所示，以杆的中轴线为x轴。振动总是传播到整根杆，所谓纵振动就是杆中的质点离开平衡位置的位移平行于x轴，可用t时刻杆上各质点x离开平衡位置的纵位移),(txu来描述杆的状态。由于杆中质点的位移不同导致杆的形变，形变产生应力，为了便于应力的描述，不妨假定),(txu具有连续的偏导数。在外力和应力的作用下，质点运动规律遵循牛顿第二定律。xu(x,t)F2xx+dxF1ABC平衡位置图7.2u(x+dx,t)CBA某时刻均匀杆形变产生的弹性力等于杨氏模量Y乘于杆的横截面积S乘于相对伸长量。将杆分成许多小段，取区间),(dxxx上的小段B为代表，该段原始长度为dx，由于振动该段右端位移),(tdxxu，左端位移),(txu，因此当前该段的长度（称为现长）为),(),(txutdxxudx，形变量即相对伸长量为相对伸长量xudxdxtxutdxxudx)],(),([原长原长现长B小段分别受邻段A和C的拉力1F和2F，xxuYSF1，dxxxuYSF2，小段B的运动方程为dxxuYSxuYSxuYSFFxdxx221222)(tuSdx2222tuxuY，02xxttuau（其中Ya2）BAxyTnu(x,y,t)(a)BA(b)Tnu(x,y,t)图7.3(c)xyxx+dxyy+dy(-x)(-y)(y)(x)3．均匀薄膜的微小横振动则均匀膜的微小横振动满足方程),,(22tyxfuautt，其中Ta2，),,(),,(1tyxFtyxf。该方程称为二维波动方程。当0),,(tyxF时，膜自由振动【小结】均匀弦的微小振动和均匀杆的纵振动满足一维波动方程，均匀薄膜的微小振动方程是二维波动方程),(2txfuauxxtt（一维波动方程）),,(22tyxfuautt（二维波动方程）波动方程的特征是方程的左边是物理量对时间的二阶偏导数减去物理量的调和量的2a倍。而物理量的调和量这项在一、二、三维波动问题中分别表现为xxu、yyxxuuu2、zzyyxxuuuu。常数a具有速度量纲，以后将看到a就是波速。二、输运方程1．扩散方程0)(uDtu，或02uaut（其中Da2）。2．热传导方程0)(uktuc，或02uaut（其中cka2）【小结】扩散问题遵循分子数守恒定律；热传导问题遵循热量守恒定律。这二类过程统称为输运问题。无源的输运问题满足02uaut该方程称为输运方程，其特征是方程的左边为物理量对时间的一阶偏导数减去物理量的调和量的2a倍，这是各种守恒定律的共同特征。输运过程也分为一、二、三维问题，所谓的一维输运问题是浓度或温度只在一方向上不均匀，输运仅在该方向进行。所谓的二维输运问题是浓度或温度在一平面上不均匀，输运仅在该平面内进行。物理量的调和量这项在一、二、三维输运问题中分别表现为xxu、yyxxuuu2、zzyyxxuuuu三、稳定场方程1．稳定浓度分布如果物质的浓度不随时间变化，此时浓度分布称为稳定浓度分布。各向同性媒介中无源稳定浓度分布满足方程0u，这是拉普拉斯方程。2．稳定温度分布如果温度不随时间变化，此时温度分布称为稳定温度分布。各向同性、均匀物质中无源稳定温度分布满足方程0u，这是拉普拉斯方程。3．静电场方程由麦克斯韦方程，静电场满足两方程)(10rE0E，由于0E，因此存在电势函数u，使得uE。静电势满足)(10ru这是一个有源稳定场方程，称为泊松方程。§7.3定解条件。一、初始条件初始条件描述特定物理过程的起因，就t这个自变数而言，如果泛定方程中物理量u对t最高阶偏导数是n阶偏导数nntu，则要确定具体的定解问题，需要n个初始条件。例1：均匀细杆的导热问题满足的泛定方程为02xxtuau，则要确定具体的导热问题的解只需一个初始条件：)(0xut，即要已知初始温度分布。注意初始条件必须给出杆上所有点在初始时刻的温度，而不是个另点的初始温度。例2：均匀弦的微小横振动过程满足的泛定方程为02xxttuau，要确定具体的波动过程的解需要二个初始条件：)(0xut和)(0xutt，即要已知初始位移和初始速度分布。注意初始条件必须给出弦上所有点在初始时刻的位移和速度，而不是个别点的初始位移和速度。例3：稳定场问题，不需初始条件。二、边界条件边界条件描述的是特定物理系统所处的环境，分为三类。1.第一类边界条件：直接规定了全过程物理量在边界上的数值，即),,,(),,,(000),,(000tzyxftzyxuzyx边界点其中),,,(000tzyxf是已知函数，若0f称为第一类齐次边界条件，若0f称为第一类非齐次边界条件。例1：均匀弦的微小横振动问题，如果弦长为l，两端固定，弹此弦，则在其振动全过程满足000tuulxx，此为第一类齐次边界条件。例2：细杆导热问题，如果杆的某一端点ax的温度u按已知规律)(tf变化，则其导热全过程满足0)(ttfuax此为第一类非齐次边界条件。2.第二类边界条件：直接规定了全过程物理量沿边界面法方向的方向导数在边界上的值，即),,,(000),,(000tzyxfnuzyx边界点其中),,,(000tzyxf是已知函数，若0f称为第二类齐次边界条件，若0f称为第二类非齐次边界条件。。例3：作纵振动的均匀细杆，在ax端点受恒力1F的作用，试研究振动过程中杆在该端点满足的条件。图7.6x=a0x1FF3.第三类边界条件：直接规定了全过程物理量与其沿边界面法方向的方向导数的线性关系在边界上的数值),,,()(000),,(000tzyxfnuHuzyx边界点其中),,,(000tzyxf是已知函数，若0f称为第三类齐次边界条件，若0f称为第三类非齐次边界条件。例4：细杆导热问题，杆的某一端点ax自由冷却，试研究在导热过程中杆在该端点满足的条件。例5：作纵振动的杆，如果某一端点ax通过弹性体连接到刚性物体上，平衡时弹性体没有形变，试研究在振动过程中杆在该端点满足的条件。例6：如图7.8所示，长为l的均匀杆，一端固定于刚性车壁上，另一端自由，车子以速度0v行进而忽然停止，试写出其定解问题。图7.8x=a0x三、衔接条件如果系统是由几种不同介质组成，使得系统在介质的交接处出现跃变，或者由于外界的作用导致物理量有跃变，那么定解条件除了初始条件和边界条件外，在介质的交界面上还应当有衔接条件。例7：如图7.9所示，截面均匀、长为l的细杆由二种不同材料粘接而成，二种材料的杨氏模量和密度分别为1Y、1和2Y、2，粘接点在0x处，则有衔接条件000021xxxxxxxuYxuYuu图7.9x=l0x11,Yx=x022,Y本章小结本章讨论定解问题的基本要素――泛定方程和定解条件。1.数学物理方程：反映同一类物理过程的共性。(1)导出数学物理方程方法；均匀弦的微小横振动、均匀杆的纵振动、均匀膜微小横振动所满足的波动方程。(3)扩散、热传导过程所满足的输运方程。(3)稳定浓度、稳定温度、静电势所满足的稳定场方程。2.初始条件：反映具体物理过程的起因(1)初始条件：在物理量分布区域内，物理量或物理量对时间的导数在初始时刻的分布；(2)初始条件的完备性：定解所需初始条件的个数。3.边界条件：反映具体物理过程所处的环境。(1)三种类型的边界条件、齐次与非齐次边界条件。(2)边界条件的完备性：在物理量分布区域的每个边界点上都必需用三类边界条件中的一类进行描述。(3)几种常见的边界条件：振动问题的“固定端”、“自由端”、“受力端”；热传导问题的“保持一定温度端”、“绝热端”、“恒定热流流进或流出端”等物理概念的表示。4.衔接条件：若物理量的分布区域由不同的“介质