高考数学复习全套课件 第八章 第三节 抛物线

掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的．相等焦点准线[思考探究]当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示：当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)图形标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)性质对称轴焦点坐标F(，0)F(－，0)准线方程x＝x轴x轴x＝－2p2p标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)性质焦半径公式|PF|＝|PF|＝范围x0＋－x0＋x≤0x≥0标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)性质顶点坐标离心率e原点(0,0)e＝1标准方程y2＝－2py(p0)y2＝2py(p0)图形标准方程y2＝－2py(p0)y2＝2py(p0)性质对称轴焦点坐标F(0，－)F(0，)准线方程y＝－y轴y轴y＝标准方程y2＝－2py(p0)y2＝2py(p0)性质焦半径公式|PF|＝|PF|＝范围y0＋－y0＋y≥0y≤0标准方程y2＝－2py(p0)y2＝2py(p0)性质顶点坐标离心率e原点(0,0)e＝11．已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上点P(－3，m)到焦点F的距离为5，则抛物线方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：设抛物线方程为y2＝2px(p0)，由抛物线定义知，|－＋3|＝5，解得p＝－4，∴抛物线方程为y2＝－8x.答案：B2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为()A.B．－C．8D．－8解析：方程y＝ax2化为x2＝y，∴准线方程为－＝2，∴a＝－.答案：B3．(2009·湖南高考)抛物线y2＝－8x的焦点坐标是()A．(2,0)B．(－2,0)C．(4,0)D．(－4,0)解析：由抛物线方程y2＝－8x得2p＝8，∴＝2，从而抛物线的焦点为(－2,0)．答案：B4．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝________.解析：由题意知抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)在直线ax－y＋1＝0上，∴a＋1＝0，a＝－1.答案：－15．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|AB|等于________．解析：|AB|＝y1＋y2＋p＝6＋2＝8.答案：81.抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化．2．焦半径|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋，它们在解题中有重要作用，注意灵活运用．(1)在抛物线y2＝4x上找一点M，使|MA|＋|MF|最小，其中A(3,2)，F(1,0)，求M点的坐标及此时的最小值．(2)已知抛物线y2＝2x和定点A(3，)，抛物线上有动点P，P到定点A的距离为d1，P到抛物线准线的距离为d2，求d1＋d2的最小值及此时P点的坐标．[思路点拨][课堂笔记](1)如图(1)，点A在抛物线y2＝4x的内部，由抛物线的定义可知，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，其中|MH|为M到抛物线的准线的距离．过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝4，当且仅当点M在M1的位置时等号成立．此时M1点的坐标为(1,2)．(2)如图(2)，点A(3，)在抛物线y2＝2x的外部，由抛物线的定义可知，d1＋d2＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝(其中F为抛物线的焦点)．此时P点的坐标为(2,2)．由例1，(1)条件中，求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值．解：如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离.于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连AF交曲线于P点时有最小值为，即.1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法．利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值．2．对于和抛物线有两个交点的直线问题，“点差法”是常用方法．如若A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px上两点，则直线AB的斜率kAB与y1＋y2可得如下等式：由＝2px1①；＝2px2②.②－①得＝2p(x2－x1)，∴＝，∴kAB＝.[特别警示]抛物线标准方程中参数p的几何意义是焦点到准线的距离，焦点的非零坐标是一次项系数的.(1)直线l过抛物线y2＝2px(p0)的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是()A．y2＝12xB．y2＝8xC．y2＝6xD．y2＝4x(2)(2008·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A、B是C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则△ABF的面积等于________．[思路点拨][课堂笔记](1)如图，分别过点A、B作抛物线准线的垂线，垂足分别为M、N，由抛物线的定义知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝|AB|＝8，又四边形AMNB为直角梯形，故AB中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度4，而抛物线的准线方程为x＝－，所以4＝2＋⇒p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则⇒(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)⇒＝1.∴线段AB所在直线方程为y－2＝x－2，即y＝x.⇒x2－4x＝0⇒x＝0，x＝4.∴A(0,0)，B(4,4)．∴|AB|＝＝4.F(1,0)，F到线段AB的距离d＝.∴S△ABF＝|AB|d＝2.[答案](1)B(2)21.直线与抛物线的位置关系设抛物线方程为y2＝2px(p0)，直线Ax＋By＋C＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q＝0，(1)若m≠0，当Δ0时，直线与抛物线有两个公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；当Δ0时，直线与抛物线没有公共点．(2)若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行．2．焦点弦问题已知AB是过抛物线y2＝2px(p0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)y1·y2＝－p2，x1·x2＝；(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)；(3)S△AOB＝；(4)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．过抛物线y2＝2px的焦点F的直线和抛物线相交于A，B两点，如图所示．(1)若A，B的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2＝－p2；(2)若直线AO与抛物线的准线相交于点C.求证：BC∥x轴．[思路点拨][课堂笔记](1)法一：由抛物线的方程可得焦点的坐标为F.设过焦点F的直线交抛物线于A，B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．①当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为y＝k，由消去x，得ky2－2py－kp2＝0.(*)当k＝0时，方程(*)只有一解，∴k≠0，由根与系数的关系，得y1y2＝－p2；②当斜率不存在时，得两交点坐标为∴y1y2＝－p2.综合两种情况，总有y1y2＝－p2.法二：由抛物线方程可得焦点F，设直线AB的方程为x＝ky＋，并设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B坐标满足消去x，可得y2＝2p，整理，得y2－2pky－p2＝0，∴y1y2＝－p2.(2)直线AC的方程为y＝x，∴点C坐标为，yc＝.∵点A(x1，y1)在抛物线上，∴＝2px1.又由(1)知，y1y2＝－p2，∴yc＝＝y2，∴BC∥x轴．抛物线在高考中一般以选择题或填空题的形式考查学生对抛物线的定义、标准方程以及几何性质等基础知识的掌握情况，而以解答题的形式出现时，常常将解析几何中的方法、技巧与思想集于一身，与其他圆锥曲线或其他章节的内容相结合，考查学生分析解决综合问题的能力.09年浙江高考将抛物线与椭圆、导数、最值等问题综合考查，是一个新的考查方向．[考题印证](2009·浙江高考)(14分)已知椭圆C1：＝1(a＞b＞0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C1的方程；(2)设点P在抛物线C2：y＝x2＋h(h∈R)上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值．【解】(1)由题意，得从而因此，所求的椭圆方程为＋x2＝1.┄┄(4分)(2)如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2＋h)，则抛物线C2在点P处的切线斜率为y′|x＝t＝2t，直线MN的方程为：y＝2tx－t2＋h.┄┄(6分)将上式代入椭圆C1的方程中，得4x2＋(2tx－t2＋h)2－4＝0.即4(1＋t2)x2－4t(t2－h)x＋(t2－h)2－4＝0.①┄┄(8分)因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t4＋2(h＋2)t2－h2＋4]＞0.②设线段MN的中点的横坐标是x3，则x3＝.设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4＝.由题意，得x3＝x4，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(10分)即t2＋(1＋h)t＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h)2－4≥0，得h≥1或h≤－3.当h≤－3时，h＋2＜0,4－h2＜0，则不等式②不成立，所以h≥1.┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)当h＝1时，代入方程③得t＝－1，将h＝1，t＝－1代入不等式②，检验成立．所以，h的最小值为1.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(14分)[自主体验]已知F1、F2分别是椭圆＝1的左、右焦点，曲线C是以坐标原点为顶点，以F2为焦点的抛物线，自点F1引直线交曲线C于P、Q两个不同的交点，点P关于x轴的对称点记为M.设.(1)求曲线C的方程；(2)证明：；(3)若λ∈[2,3]，求|PQ|的取值范围．解：(1)椭圆＝1的右焦点F2的坐标为(1,0)，∴可设曲线C的方程为y2＝2px(p0)，∴p＝2，曲线C的方程为y2＝4x.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)．∵，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，①y1＝λy2，②∴＝λ2.∵＝4x1，＝4x2，∴x1＝λ2x2.③③代入①得λ2x2＋1＝λx2＋λ，∴λx2(λ－1)＝λ－1.∵λ≠1，∴x2＝，x1＝λ，∴＝(x1－1，－y1)．由②知，－y1＝－λy2，∴＝－λ＝－λ(x2－1，y2)＝－λ，故＝－λ.(3)由(2)知x2＝，x1＝λ，得x1x2＝1，∴＝16x1x2＝16.∵y1y20，∴y1y2＝4，则|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝－2(x1x2＋y1y2)＝－16.∵λ∈[2,3]，∴λ＋，∴|PQ|2∈，得|PQ|∈.1．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－2B．2C．－4D．4解析：椭圆的右焦点是(2,0)，∴＝2，p＝4.答案：D2．若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P的轨迹方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．x2＝8yD．x2＝－8y解析：由题意知，点P到点F(0,2)的距离与它到直线y＋2＝0的距离相等，由抛物线定义知点P的轨迹是抛物线，其方程为x2＝8y.答案：C3．(2010·日照摸拟)已知抛物线y2＝4x上两个动点B、C和点A(1,2)，且∠BAC＝90°，则动直线BC必过定点()A．(2,5)B．(－2,5)C．(5，－2)D．(5,2)解析：设B(，y1)，C(，y2)，BC的中点为D(x0，y0)，则y1＋y2＝2y0，直线BC：即4x－2y0y＋y1y2＝0；①又＝0，∴y1y2＝－4y0－20，代入