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当前位置:首页 > 行业资料 > 其它行业文档 > 高考数学复习全套课件(理) 第二章 第一节 函数及其表示
1.了解构成函数的要素;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单地应用(函数的分段一般不超过三段).1.函数及其相关概念2.影射及其相关概念1.若对应关系f:A→B是从集合A到集合B的一个映射,则下面说法错误的是()A.A中的每一个元素在集合B中都有像B.A中两个元素在B中的像必定不同C.B中两个元素若在A中有原像,则它们必定不同D.B中的元素在A中可能没有对应原像..解析:根据映射的概念可知,A中两个元素可以和B中的同一个元素对应,即允许多对一,不允许一对多.答案:B2.如图所示,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是()解析:A、B、C选项中都有“一对二”情形,不符合函数定义中从集合A到集合B应为“一一对应”或“多对一对应”,只有D符合函数定义.故选D.答案:D3.下列各组函数是同一函数的是()A.y=与y=1B.y=与y=C.y=与y=2x-1D.y=与y=x解析:∵y=排除A;y=排除B;y=排除C.答案:D4.若f(x)=x2+bx+c,且f(1)=0,f(3)=0,则f(-1)=.解析:∵f(x)=x2+bx+c,f(1)=0,f(3)=0.∴1+3=-b,1×3=c.即b=-4,c=3.∴f(x)=x2-4x+3.∴f(-1)=1+4+3=8.答案:85.设函数f(x)=,若f(x)=10,则x=.解析:当x>0时,-2x<0,故不合题意;当x≤0时,x2+1=10,∴x=-3.答案:-3对于映射f:A→B的理解要抓住以下三点:1.集合A、B及对应关系f是确定的,是一个整体,是一个系统;2.对应关系f具有方向性,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系是不同的;3.对于A中的任意元素a,在B中有唯一元素b与之相对应.其要点在“任意”、“唯一”两词上.已知映射f:A→B.其中A=B=R,对应关系f:x→y=-x2+2x,对于实数k∈B,在集合A中不存在元素与之相对应,则k的取值范围是()A.k>1B.k≥1C.k<1D.k≤1[思路点拨][课堂笔记]由题意,方程-x2+2x=k无实数根,也就是x2-2x+k=0无实数根.∴Δ=(-2)2-4k=4(1-k)<0,∴k>1.∴当k>1时,集合A中不存在元素与实数k∈B对应.[答案]A若-15∈B,则在集合A中与之对应的元素x为何值?解:∵-15∈B,∴-x2+2x=-15.即x2-2x-15=0解之得x=-3或x=5.求函数解析式的常用方法1.配凑法:对f(g(x))的解析式进行配凑变形,使它能用g(x)表示出来,再用x代替两边的所有“g(x)”即可;2.换元法:设t=g(x),解出x,代入f(g(x)),得f(t)的解析式即可;3.待定系数法:若已知f(x)的解析式的类型,设出它的一般形式,根据特殊值,确定相关的系数即可;4.赋值法:给变量赋予某些特殊值,从而求出其解析式.5.解方程组法:利用已给定的关系式,构造出一个新的关系式,通过解关于f(x)的方程组求f(x).[特别警示]函数的解析式是函数表示法的一种.求函数的解析式一定要说明函数的定义域.(1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式;(2)已知,求f(x)的解析式.[思路点拨][课堂笔记](1)设f(x)=ax+b(a≠0),则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+5a+b,即ax+5a+b=2x+17,不论x为何值都成立.∴解得∴f(x)=2x+7.(2)法一:设t=+1,则x=(t-1)2(t≥1).代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.∴f(x)=x2-1(x≥1).法二:∵x+2=()2+2+1-1=(+1)2-1,∴f(+1)=(+1)2-1(+1≥1),即f(x)=x2-1(x≥1).解:∵f(x)+2f()=3x,①∴以代x,则f()+2f(x)=3·.②由①②联立消去f()得f(x)=-x(x≠0).故f(x)=-x(x≠0).若将(2)中的条件改变“f(x)+2f()=3x”,如何求解?分段函数是指自变量x在不同取值范围内对应关系不同的函数,解决与分段函数有关的问题,最重要的就是逻辑划分思想,即将问题分段解决,还要熟练掌握研究分段函数性质(奇偶性、单调性)的一般方法.[特别警示]分段函数的解析式虽然由几部分构成,但它表示的是一个函数.设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为()A.1B.2C.3D.4[思路点拨][课堂笔记]法一:若x≤0,f(x)=x2+bx+c.∵f(-4)=f(0),f(-2)=-2,∴解得∴f(x)=当x≤0时,由f(x)=x,得x2+4x+2=x,解得x=-2,或x=-1;当x>0时,由f(x)=x,得x=2.∴方程f(x)=x有3个解.法二:由f(-4)=f(0)且f(-2)=-2,可得f(x)=x2+bx+c的对称轴是x=-2,且顶点为(-2,-2),于是可得到f(x)的简图(如图所示).方程f(x)=x的解的个数就是函数图象y=f(x)与y=x的图象的交点的个数,所以有3个解.[答案]C分段函数是高考的热点内容,以考查求分段函数的函数值为主,属容易题,但09年山东高考将函数的周期性应用到求分段函数函数值的过程中,使试题难度陡然增加,这也代表了一种新的考查方向.[考题印证](2009·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(2009)的值为()A.-1B.0C.1D.2【解析】∵x>0时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),又f(x+1)=f(x)-f(x-1),两式相加得f(x+1)=-f(x-2),即f(x+3)=-f(x),故f(x+6)=-f(x+3)=f(x),故函数周期为6.∴f(2009)=f(6×334+5)=f(5)=f(-1)=log22=1.【答案】C[自主体验]已知符号函数sgnx=则不等式(x+1)sgnx>2的解集为.解析:当x>0时,sgnx=1.由(x+1)sgnx>2得x>1.当x=0时,sgnx=0.不等式(x+1)sgnx>2解集为∅.当x<0时,sgn=-1,由不等式(x+1)sgnx>2得x<-3.综上可知不等式(x+1)sgnx>2的解集为{x|x<-3或x>1}.答案:{x|x<-3或x>1}1.已知f:x→-sinx是集合A(A⊆[0,2π])到集合B={0,}的一个映射,则集合A中的元素个数最多有()A.4个B.5个C.6个D.7个解析:∵A⊆[0,2π],由-sinx=0得x=0,π,2π;由-sinx=,得x=,,∴A中最多有5个元素.答案:B2.已知函数f(x)=,那么f[f()]的值为()A.9B.C.-9D.-解析:由于f[f()]=f(log2)=f(-2)=3-2=.答案:B3.若f(x)对任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(x)=()A.x-1B.x+1C.2x+1D.3x+3解析:∵2f(x)-f(-x)=3x+1,①用-x代x得,2f(-x)-f(x)=-3x+1,②①×2+②得,3f(x)=3x+3,∴f(x)=x+1.答案:B解析:∵f(x)=x2+2x+a,∴f(bx)=b2x2+2bx+a=9x2-6x+2.则∴f(x)=x2+2x+2,则f(ax+b)=f(2x-3)=(2x-3)2+2(2x-3)+2=4x2-8x+5.4.已知函数f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中x∈R,a,b为常数,则f(ax+b)=.答案:4x2-8x+5∴a=2,b=-3.5.已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b)且f(2)=p,f(3)=q,则f(36)=.解析:f(36)=f(6)+f(6)=2f(2×3)=2[f(2)+f(3)]=2(p+q).答案:2(p+q)6.已知定义域为R的函数f(x)满足f[f(x)-x2+x]=f(x)-x2+x.(1)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);(2)设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析式.解:(1)因为对任意x∈R有f[f(x)-x2+x]=f(x)-x2+x,所以f[f(2)-22+2]=f(2)-22+2,又f(2)=3,从而f(1)=1.又f(0)=a,则f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a.(2)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,又有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,故对任意x∈R,有f(x)-x2+x=x0.在上式中令x=x0,有f(x0)-+x0=x0.又因为f(x0)=x0,所以x0-=0,故x0=0或x0=1.若x0=0,则f(x)=x2-x,但方程x2-x=x有两个不相同实根,与题设条件矛盾,故x0≠0.若x0=1,则有f(x)=x2-x+1,易验证该函数满足题设条件.综上,函数f(x)的解析式为f(x)=x2-x+1.
本文标题:高考数学复习全套课件(理) 第二章 第一节 函数及其表示
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