二次曲面的方程与图形

二次曲面的方程与图形1.椭球面2.抛物面3.双曲面4.椭圆锥面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为0)1.椭球面),,(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby012222yczax1222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1zz(4)当a＝b时为旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c时为球面.(3)截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,,(为正数)zzyxO2.抛物面zqypx2222(1)椭圆抛物面(p,q同号)(2)双曲抛物面（鞍形曲面）zqypx2222特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面.(p,q同号)zyxO2222zbyax椭圆抛物面2222zaxby双曲抛物面所表示的曲面称为双曲抛物面或马鞍面.3.双曲面(1)单叶双曲面by1)1上的截痕为平面1zz椭圆.时,截痕为22122221byczax(实轴平行于x轴；虚轴平行于z轴）1yy),,(1222222为正数cbaczbyax1yy平面上的截痕情况:双曲线:zxyOxyzO虚轴平行于x轴）by1)2时,截痕为0czax)(bby或by1)3时,截痕为22122221byczax(实轴平行于z轴;1yy相交直线:双曲线:0xyzO),,(1222222为正数cbaczbyax(2)双叶双曲面),,(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy双曲线上的截痕为平面1xx上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线Ozxy222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面4.椭圆锥面),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线.zxy1)()(2222tbytaxtz,可以证明,椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.①(椭圆锥面也可由圆锥面经x或y方向的伸缩变换得到)xyzO内容小结三元二次方程),(同号qp•椭球面•抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面zqypx2222•双曲面:单叶双曲面2222byax1双叶双曲面2222byax1•椭圆锥面:22222zbyax二次曲面